2021-2022学年内蒙古自治区兴安盟普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.( )。
A.
B.
C.
D.
2.设f(x)为连续函数,则等于( )
A.A.
B.
C.
D.
3.设un≤aυn(n=1,2,…)(a>0),且收敛,则( )
A.必定收敛 B.必定发散 C.收敛性与a有关 D.上述三个结论都不正确
4.设函数y=ex-2,则dy=( )
A.e^(x-3)dx B.e^(x-2)dx C.e^(x-1)dx D.e^xdx
5.设f(x)在点x0处连续,则下列命题中正确的是( ).
A.A.f(x)在点x0必定可导
B.f(x)在点x0必定不可导
C.
D.
6.函数f(x)=2x3-9x2+12x-3单调减少的区间为
A.(-∞,1] B.[1,2] C.[2,+∞) D.[1,+∞)
7.
8.设二元函数z=xy,则点P0(0,0)
A.为z的驻点,但不为极值点 B.为z的驻点,且为极大值点 C.为z的驻点,且为极小值点 D.不为z的驻点,也不为极值点
9.
A.A.
B.
C.
D.
10.
A.2 B.1 C.1/2 D.0
11.
12.
13.A.0 B.1 C.2 D.任意值
14.
15.
A.
B.
C.
D.
16.微分方程y'+y=0的通解为y=
A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex
17.
18.设y=e-2x,则y'于( ).
A.A.2e-2x B.e-2x C.-2e-2x D.-2e2x
19.
20.。
A.2 B.1 C.-1/2 D.0
二、填空题(20题)
21.
22.曲线y =x3-3x2-x的拐点坐标为____。
23.设y=ex/x,则dy=________。
24.
25.极限=________。
26.
27.
28.
29.
30.
31.设区域D为y=x2,x=y2围成的在第一象限内的区域,则=______.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
42.
43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
44. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
45. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
46.
47.
48.
49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
51. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
52.
53.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
54.
55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
56. 求微分方程的通解.
57.
58.证明:
59.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
60. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.求由曲线y=2x-x2,y=x所围成的平面图形的面积S.并求此平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.讨论y=xe-x的增减性,凹凸性,极值,拐点。
六、解答题(0题)
72. 求由曲线y=cos、x=0及y=0所围第一象限部分图形的面积A及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx。
参考答案
1.C
2.D
本题考查的知识点为定积分的性质;牛-莱公式.
可知应选D.
3.D
由正项级数的比较判定法知,若un≤υn,则当收敛时,也收敛;若也发散,但题设未交待un与υn的正负性,由此可分析此题选D。
4.B
5.C
本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系.
这些性质考生应该熟记.由这些性质可知本例应该选C.
6.B
f(x)=2x3-9x2+12x-3的定义域为(-∞,+∞)
f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。
令f'(x)=0得驻点x1=1,x2=2。
当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调增加。
当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调减少。
当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调增加。因此知应选B。
7.C解析:
8.A
9.A
10.D 本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质.
11.A
12.A解析:
13.B
14.D解析:
15.D
本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。
因此选D。
16.C
17.D解析:
18.C
本题考查的知识点为复合函数求导.
可知应选C.
19.D
20.A
21.
22.(1,-1)
23.
24.
本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。
25.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷,因此它不是重要极限的形式,由于=0,即当x→∞时,为无穷小量,而cosx-1为有界函数,利用无穷小量性质知
26.0<k≤1
27.
本题考查的知识点为连续性与极限的关系,左极限、右极限与极限的关系.
28.π/4
本题考查了定积分的知识点。
29.
30.
31.1/3 ;本题考查的知识点为二重积分的计算.
32.1/61/6 解析:
33.
本题考查的知识点为不定积分的凑微分法.
34.
35.(-∞2)
36.
37.dx
38. 解析:
39.
40.(-21)
(-2,1)
41.
42.
43.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
44.
45.
46.
47.
48.
49.
列表:
说明
50.由二重积分物理意义知
51.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
52.
则
53.由等价无穷小量的定义可知
54. 由一阶线性微分方程通解公式有
55.
56.
57.
58.
59.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
60. 函数的定义域为
注意
61.
62.
63.
64.
65.利用洛必达法则 原式,接下去有两种解法: 解法1 利用等价无穷小代换. 解法2 利用洛必达法则.
本题考查的知识点为两个:“”型极限和可变上限积分的求导.
对于可变上(下)限积分形式的极限,如果为“”型或“”型,通常利用洛必达法则求解,将其转化为不含可变上(下)限积分形式的极限.
66.
67.
68.所给平面图形如图4-1中阴影部分所示. 由,可解得 因此 :
本题考查的知识点为定积分的几何应用:利用定积分表示平面图形的面积;利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积.这是常见的考试题型,考生应该熟练掌握.
69.
70.
71.∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0;x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0;x=2 ①∵x<1时y">0; ∴x>1时y"<0; ∴y在(一∞1)内递增;y在(1+∞)内递减;极大值e-1; ②∵x<2时y""<0; ∴x>2时y"">0; ∴y在(一∞2)内凸;y在(1+∞)内凹;拐点为(22e-2)∵y=xe-x ∴y"=e-x一xe-x=e-x(1一x)=0;x=1 ∴y""=一e-x(1一x)一e-x=e-x(x一2)=0;x=2 ①∵x<1时,y">0; ∴x>1时,y"<0; ∴y在(一∞,1)内递增;y在(1,+∞)内递减;极大值e-1; ②∵x<2时,y""<0; ∴x>2时,y"">0; ∴y在(一∞,2)内凸;y在(1,+∞)内凹;拐点为(2,2e-2)
72.