2021-2022学年广东省惠州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.
A.6Y B.6XY C.3X D.3X^2
3.()。
A.
B.
C.
D.
4.
5.
6.
7.
A.
B.
C.
D.
8.
A.0
B.
C.1
D.
9.
A.1 B.0 C.2 D.1/2
10.()。
A.收敛且和为0
B.收敛且和为α
C.收敛且和为α-α1
D.发散
11.设f(x)在点x0处连续,则下面命题正确的是( )
A.A.
B.
C.
D.
12.
13.
14.
A.
B.
C.
D.
15.()。
A.e-2
B.e-2/3
C.e2/3
D.e2
16.
17.
18.
19.A.dx+dy
B.
C.
D.2(dx+dy)
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.设函数z=x2ey,则全微分dz=______.
24.
25.
26.________。
27.
28.为使函数y=arcsin(u+2)与u=|x|-2构成复合函数,则x所属区间应为__________.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
43.
44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
45.
46. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
47. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
48.
49.
50.
51. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
52. 求微分方程的通解.
53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
54.证明:
55.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
56.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
57.
58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
59. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程.
65.
66.
67.
68.
69. 设z=z(x,y)由ez-xyz=1所确定,求全微分dz。
70.
五、高等数学(0题)
71.
_________当a=__________时f(x)在(一∞,+∞)内连续。
六、解答题(0题)
72.设函数y=sin(2x-1),求y'。
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.C
5.B
6.B
7.C
8.A
9.C
10.C
11.C
本题考查的知识点有两个:连续性与极限的关系;连续性与可导的关系.
连续性的定义包含三个要素:若f(x)在点x0处连续,则
(1)f(x)在点x0处必定有定义;
(2)必定存在;
(3)
由此可知所给命题C正确,A,B不正确.
注意连续性与可导的关系:可导必定连续;连续不一定可导,可知命题D不正确.故知,应选C.
本题常见的错误是选D.这是由于考生没有正确理解可导与连续的关系.
若f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处必定连续.
但是其逆命题不成立.
12.D
13.B
14.B
本题考查的知识点为交换二次积分次序。
由所给二次积分可知积分区域D可以表示为 1≤y≤2,y≤x≤2,
交换积分次序后,D可以表示为 1≤x≤2,1≤y≤x, 故应选B。
15.B
16.D解析:
17.B
18.D
19.C
20.C
21.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径.
所给级数为缺项情形,由于
22.本题考查的知识点为定积分的基本公式。
23.dz=2xeydx+x2eydy
24.由可变上限积分求导公式可知
25.
26.1
27.
28.[-1,1
29.0
30.
31.1/21/2 解析:
32.
本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。
33.-sinx
34.1
35.
36.e-1/2
37. 解析:
38. 解析:
39.
40.2
本题考查了定积分的知识点。
41.
42.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
43.
44.
45. 由一阶线性微分方程通解公式有
46. 函数的定义域为
注意
47.
48.
49.
50.
51.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
52.
53.
54.
55.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
56.由等价无穷小量的定义可知
57.
则
58.
列表:
说明
59.
60.由二重积分物理意义知
61.
62.
63.
64.由于直线2x-6y+1=0的斜率k=1/3,与其垂直的直线的斜率k1=-1/k=-3. 对于y=x3+3x25,y'=3x2+6x. 由题意应有3x2+6x=-3,因此 x2+2x+1=0, x=-1,此时y=(-1)3+3(-1)2-5=-3.即切点为(-1,-3). 切线方程为y+3=-3(x+1),或写为3x+y+6=0.
本题考查的知识点为求曲线的切线方程.
求曲线y=f(x,y)的切线方程,通常要找出切点及函数在切点处的导数值.所给问题没有给出切点,因此依已给条件找出切点是首要问题.得出切点、切线的斜率后,可依直线的点斜式方程求出切线方程.
65.
66.
67.
68.
69.
70. 解
71.∵(0)=a; ∴当a=0时=a=f(0);f(x)在x=0连续而f(x)在(一∞0)(0+∞)是初等函数必连续 ∴a=0时f(x)在(一∞+∞)内连续。∵(0)=a; ∴当a=0时,=a=f(0);f(x)在x=0连续,而f(x)在(一∞,0)(0,+∞)是初等函数必连续, ∴a=0时,f(x)在(一∞,+∞)内连续。
72.