2021-2022学年广东省汕头市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.点M(4,-3,5)到Ox轴的距离d=( )
A.A.
B.
C.
D.
3.
A.A.条件收敛 B.绝对收敛 C.收敛性与k有关 D.发散
4.
5.
6.微分方程y’-4y=0的特征根为( )
A.0,4 B.-2,2 C.-2,4 D.2,4
7.
8.设( ).
A.A.必定收敛 B.必定发散 C.收敛性与a有关 D.上述三个结论都不正确
9.
10.。
A.2 B.1 C.-1/2 D.0
11.设z=x2+y2,dz=( )。
A.2ex2+y2(xdx+ydy)
B.2ex2+y2(zdy+ydx)
C.ex2+y2(xdx+ydy)
D.2ex2+y2(dx2+dy2)
12.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是()。
A.球面 B.旋转抛物面 C.圆柱面 D.圆锥面
13.设y=e-2x,则y'于( ).
A.A.2e-2x B.e-2x C.-2e-2x D.-2e2x
14.
A.A.2xy3
B.2xy3-1
C.2xy3-sin y
D.2xy3-sin y-1
15.
A.A.
B.
C.
D.
16.设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则必定存在一点ξ∈(a,b)使得( )
A.f(ξ)>0 B.f(ξ)<0 C.f(ξ)=0 D.f(ξ)=0
17.
18.A.2 B.2x C.2y D.2x+2y
19.
20.( )。
A.2ex+C
B.ex+C
C.2e2x+C
D.e2x+C
二、填空题(20题)
21.
22.
23.当x=1时,f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数),则p=______.
24.
25.
26.
27.
28. f(x)=sinx,则f"(x)=_________。
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.设,则y'=______。
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
42.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
43.
44.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
45.
46.
47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
48.证明:
49.
50.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
52. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
53.
54. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
55.
56. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
57. 求微分方程的通解.
58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
59.
60. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.计算
70.
五、高等数学(0题)
71.
=( )。
A.∞
B.0
C.
D.
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.C
2.B
3.A
本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛.
4.B
5.D
6.B
由r2-4=0,r1=2,r2=-2,知y"-4y=0的特征根为2,-2,故选B.
7.A解析:
8.D
9.B
10.A
11.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x;zy"=ex2+y22y ∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy
12.D因方程可化为,z2=x2+y2,由方程可知它表示的是圆锥面.
13.C
本题考查的知识点为复合函数求导.
可知应选C.
14.A
15.D
16.D
17.C
18.A
19.B
20.B
21.e-2
本题考查了函数的极限的知识点,
22.
23.-1f'(x)=3x2+3p,f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.
24.1/2
25.
本题考查的知识点为定积分运算.
26.
27.1/21/2 解析:
28.-sinx
29.本题考查的知识点为:求解可分离变量的微分方程.
30.x/1=y/2=z/-1
31.1/21/2 解析:
32.00 解析:
33.2.
本题考查的知识点为极限的运算.
能利用洛必达法则求解.
如果计算极限,应该先判定其类型,再选择计算方法.当所求极限为分式时:
若分子与分母的极限都存在,且分母的极限不为零,则可以利用极限的商的运算法则求极限.
若分子与分母的极限都存在,但是分子的极限不为零,而分母的极限为零,则所求极限为无穷大量.
检查是否满足洛必达法则的其他条件,是否可以进行等价无穷小量代换,所求极限的分子或分母是否有非零因子,可以单独进行极限运算等.
34.3/2
本题考查了函数极限的四则运算的知识点。
35.>1
36.本题考查的知识点为导数的运算。
37.
38.
39.
40.3
41.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
42.由等价无穷小量的定义可知
43.
44.由二重积分物理意义知
45. 由一阶线性微分方程通解公式有
46.
则
47.
48.
49.
50.
列表:
说明
51.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
52.
53.
54.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
55.
56. 函数的定义域为
注意
57.
58.
59.
60.
61.
62. 解
63.
64.
65.
66.
67.本题考查的知识点为求曲线的切线方程.
切线方程为y+3=一3(x+1),或写为3x+y+6=0.
求曲线y=f(x,y)的切线方程,通常要找出切点及函数在切点处的导数值.所给问题没有给出切点,因此依已给条件找出切点是首要问题.得出切点、切线的斜率后,可依直线的点斜式方程求出切线方程.
68.
69.
70.本题考查的知识点为计算二重积分;选择积分次序或利用极坐标计算.
积分区域D如图2—1所示.
解法1利用极坐标系.
D可以表示为
解法2利用直角坐标系.
如果利用直角坐标计算,区域D的边界曲线关于x,y地位等同,因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点.注意
可以看出,两种积分次序下的二次积分都可以进行计算,但是若先对x积分,后对y积分,将简便些.
本题中考生出现的较普遍的错误为,利用极坐标将二重积分化为二次积分:
右端被积函数中丢掉了r,这是考生应该注意的问题.通常若区域可以表示为
71.D
72.