2022-2023学年四川省宜宾市维新中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点在圆:上运动,则点到直线:的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).
A.[0,π) B. ∪
C. D. ∪
参考答案:
B
略
3. 复数,则实数a的值是( )
A. B. C. D.-
参考答案:
B
4. 函数的最大值与最小值的和是
A. B.0 C. D.
参考答案:
C
略
5. 将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位,所得函数的解析式为( )
A. B.y=﹣cos2x C.y=cos2x D.
参考答案:
A
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解.
【解答】解:将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位,
所得函数的解析式为y=sin[2(x+)+]=sin(2x++)=sin(2x+).
故选:A.
6. 如图曲线和直线所围成的图形(阴影部分)的面积为
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 已知不等式组表示平面区域D,现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒,则该颗粒落到区域D中的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】几何概型.
【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN,的面积,然后根据线性规划的知识作出平面区域D,并求面积,最后代入几何概率的计算公式可求.
【解答】解:根据积分的知识可得,y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN,面积
=
等式组表示平面区域D即为△AOB,其面积为
根据几何概率的计算公式可得P=
故选:C
【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积,还考查了几何概率的计算公式的应用,属于基础试题.
8. ,则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
,所以,选C.
9. 函数的图象大致是 ( )
参考答案:
答案:B
10. 下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.B.y=ex﹣e﹣x C.y=x3﹣x D.y=xlnx
参考答案:
B
考点:奇偶性与单调性的综合.
专题:函数的性质及应用.
分析:分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可.
解答:解:A.函数y=x+是奇函数,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴A不满足条件.
B.设y=f(x)=ex﹣e﹣x,则f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣f(x).函数为奇函数,∵y=ex单调递增,y=e﹣x,单调递减,∴y=ex﹣e﹣x在区间(0,+∞)上单调递增,∴B满足条件.
C.函数y=x3﹣x为奇函数,到x>0时,y'=3x2﹣1,由y'>0,解得x>或x,∴f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,∴C不满足条件.
D.函数y=xlnx的定义域为(0,+∞),关于原点不对称,∴D不满足条件.
故选:B.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC中,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,则AB?AC的最大值是 .
参考答案:
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】由题意,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,设AB=m,AC=n,根据余弦定理建立关系,利用基本不等式的性质求解.
【解答】解:△ABC中,D是BC上的点,DA=DB=2,DC=1,设AB=m,AC=n,
cos∠BDA=,cos∠CDA=,
∠BDA与∠CDA互补,
∴=﹣,
可得:2n2+m2=18.
那么:AB?AC=m?n=≤×=(当且仅当m=取等号)
故答案为.
12. 已知集合,记和中所有不同值的个数为.如当时,由,,,,,得.对于集合,若实数成等差数列,则________________
参考答案:
2n-3-
略
13. 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,E是C的准线上位于x轴上方的一点,直线EF与C在第一象限交于点M,在第四象限交于点N,且|EM|=2|MF|=2,则点N到y轴的距离为 .
参考答案:
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】由题意可知丨FM丨=1,|EM|=2,丨EF丨=3,根据相似三角形的性质,即可求得p的值,由丨EN丨=2丨DN丨,根据抛物线的定义,即可求得丨DN丨=3,点N到y轴的距离为丨DN丨﹣.
【解答】解:过M,N做MH⊥l,ND⊥l,垂足分别为H,D,
由抛物线的定义可得丨FM丨=丨MH丨,丨FN丨=丨DN丨
|EM|=2|MF|=2,则丨FM丨=1,|EM|=2,丨EF丨=3,
∴∠EMH=,∠MEH=,
∴p=,抛物线的标准方程为y2=3x,
在Rt△EDN中,sin∠MED=,
则丨EN丨=2丨DN丨,即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨,
则丨DN丨=3,
点N到y轴的距离为丨DN丨﹣=3﹣=,
故答案为:.
14. 若圆x2+y2=4与圆x2+(y﹣3)2=r2 (r>0)外切,则实数r的值为 .
参考答案:
1
略
15. 在中,角所对的边分别为且,,若,则的取值范围是 _____________.
参考答案:
由得,因为,所以由得.所以最大.因为,所以,即,所以,即,因为,所以,即,所以.因为,所以,所以,即,所以.
,因为,所以,即,即,所以.即的取值范围是.
【答案】
【解析】
16. 已知函数是奇函数,若的最小值为,且,则b的取值范围是__________
参考答案:
17. 设复数为实数时,则实数的值是____________.
参考答案:
3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC﹣c=2b.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若c=,角B的平分线BD=,求a.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件,求出cosA的值,由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值;
(Ⅱ)由条件和正弦定理求出sin∠ADB,由条件求出∠ADB,由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB,结合条件和余弦定理求出边a的值.
【解答】解:(Ⅰ)由2acosC﹣c=2b及正弦定理得,
2sinAcosC﹣sinC=2sinB,…(2分)
2sinAcosC﹣sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,
∴﹣sinC=2cosAsinC,
∵sinC≠0,∴cosA=,
又A∈(0,π),∴A=;…(6分)
(Ⅱ)在△ABD中,c=,角B的平分线BD=,
由正弦定理得,
∴sin∠ADB===,…(8分)
由A=得∠ADB=,∴∠ABC=2()=,
∴∠ACB==,AC=AB=
由余弦定理得,a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA
=2+2﹣2×=6,
∴a=…(12分)
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理,内角和定理,以及两角和的正弦公式等应用,考查转化思想,化简、变形能力.
19. 已知数列{an},{bn}满足:,,.
(1)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
(1)见证明;(2).
(1)证明:因为,所以.
因为,所以,所以.
又,所以是首项为,公比为2的等比数列,
所以.
(2)解:由(1)可得,
所以
.
20. 本小题满分13分)
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交元()的管理费,预计当每件产品的售价为元()时,一年的销售量为万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价(元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出L的最大值
参考答案:
(1)分公司一年的利润L(万元)与售价的函数关系式为:
……………………………………4分(少定义域去1分)
(2)
令得或(不合题意,舍去)…………………………6分
∵,∴ 在两侧的值由正变负.8分
所以(1)当即时,
………………………………10分
(2)当即时,
,
所以 …………………………………………12分
21. (本小题满分14分)已知正数数列{an }中,a1 =2.若关于x的方程 ()对任意自然数n都有相等的实根.
(1)求a2 ,a3的值;
(2)求证().
参考答案:
(1)由题意得△,即,进而可得,.
(2)由于,所以,因为,所以数列是以为首项,公比为2的等比数列,知数列是以为首项,公比为的等比数列,于是
,
所以.
略
22. (本小题满分12分)
如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
参考答案:
(Ⅰ)因为P在平面ABC内的正投影为点D,所以AB⊥PD. 因为D在平面PAB内的正投影为点E,所以AB⊥DE.所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.
(II)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(I)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.
所以四面体PDEF的体积