2022-2023学年安徽省滁州市三圣中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题p:,,则是()
A. , B. ,
C. , D. ,
参考答案:
D
【分析】
根据全称命题的否定方法,结合已知中的原命题,可得答案.
【详解】∵命题p:?x>0,总有lgx>0,
∴命题?p为:?x0>0,使得lgx0≤0,
故选:D.
【点睛】本题考查了命题的否定,考查了推理能力,属于基础题.
2. 函数在区间内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
3. 如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线条画出的图形为某几何体的三视图,则该几何体的外接球表面积为
A. 3π B. 12π C. 18π D. 27π
参考答案:
D
【分析】
根据三视图还原出几何体,结合几何体的特征求出其外接球的表面积.
【详解】根据三视图还原成几何体如图,
它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图,
结合三视图中的数据可知,其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.
【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原几何体时,要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.
4. 函数y=loga(x+3)﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则4m+2n的值等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
【考点】直线的一般式方程;对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】计算题.
【分析】由对数函数的特点可得点A的坐标,代入直线方程可得2m+n=1,进而可得4m+2n的值.
【解答】解:由题意当x=﹣2时,无论a为何值,总有y=﹣1
即点A的坐标为(﹣2,﹣1),又点A在直线mx+ny+1=0上,
所以﹣2m﹣n+1=0,即2m+n=1,
故4m+2n=2(2m+n)=2
故选C
【点评】本题为对数函数过定点的问题,准确找到定点是解决问题的关键,属基础题.
5. 已知是的重心,过点作直线与,交于点,且,,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 函数的最小正周期为,
若其图象向右平移个单位后关于y轴对称,则
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
7. 已知集合,则
A.(2,6) B. (2,7) C.(-3,2] D.(-3,2)
参考答案:
C
8. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则△ABC的面积的最大值是( )
A. B. C. D. 4
参考答案:
B
【分析】
由,根据三角形内角和定理,结合诱导公式可得,再由正弦定理可得,从而由余弦定理求得,再利用基本不等式可得,由三角形面积公式可得结果.
【详解】,且,
,
由正弦定理可得,
由余弦定理可得,
,
又,即,
,
即最大面积为,故选B.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用,属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
9.
不等式的解集是 ( )
A. B. (2,)
C. D.
参考答案:
答案:A
10. 已知在[0,1]内有且只有一个根在区间[0,2013]内根的个数为( )
A.2011 B.1006 C.2013 D.1007
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若圆,关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值为 .
参考答案:
,圆心坐标为,代入直线得:
,即点在直线:,过作的垂线,垂
足设为,则过作圆的切线,切点设为,则切线长最短,于是有,
,∴由勾股定理得:.
12. 直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)相交所得的弦长的取值范围是 .
参考答案:
[4,16]
【考点】参数方程化成普通方程.
【专题】直线与圆;坐标系和参数方程.
【分析】把直线与圆的参数方程化为普通方程,画出图形,结合图形,求出直线被圆截得的弦长的最大值与最小值即可.
【解答】解:直线l:(t为参数),
化为普通方程是=,
即y=tanα?x+1;
圆C的参数方程(θ为参数),
化为普通方程是(x﹣2)2+(y﹣1)2=64;
画出图形,如图所示;
∵直线过定点(0,1),
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16,
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4,16].
故答案为:[4,16].
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题,解题时先把参数方程化为普通方程,再画出图形,数形结合,容易解答本题.
13. 某中学共有学生2800人,其中高一年级970人,高二年级930人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 .
参考答案:
93
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可.
【解答】解:抽取280人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为人,
故答案为:93
14. = .
参考答案:
2
略
15. 已知幂函数f(x)=k?xα的图象过点(,),则k+α= .
参考答案:
【考点】幂函数的图像.
【专题】计算题.
【分析】根据幂函数系数为1,可以求出k的值,又由幂函数f(x)=k?xα的图象过点(,),我们将点的坐标代入函数解析式,易求出a值,进而得到k+α的值.
【解答】解:由幂函数的定义得k=1,
再将点(,)代入得=()α,
从而α=,故k+α=.
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象,其中利用幂函数的定义,得到k=1是解答本题的关键.
16. 设是各项均为非零实数的等差数列的前项和,且满足条件,则的最大值为 .
参考答案:
17. 在△ABC中,∠A=90°,的值是 .
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
2015年国庆节之前,市教育局为高三学生在紧张学习之余,不忘体能素质的提升,要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试,市教育局为了迅速了解学生体能素质状况,按照全市高三测试学生的先后顺序,每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析,将这40人的体能测试成绩分成六段后,得到如下图的频率分布直方图.
(1)市教育局在采样中,用的是什么抽样方法?并估计这40人体能测试成绩平均数;
(2)从体能测试成绩在的学生中任抽取2人,求抽出的2人体能测试成绩在概率.
参考数据:
参考答案:
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.K2 I2
【答案解析】(1)97;(2)
解析:(1)根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分
平均数的估计值为:
…………………………6分
(2)从图中可知,体能测试成绩在的人数为(人),分别记为;体能测试成绩在人数为(辆),分别记为,从这人中随机抽取两人共有种情况:
,,,,,,,.……………………9分
抽出的人中体能测试成绩在的情况有
共6种,………………………………………………………11分
故所求事件的概率.…………………………………12分
【思路点拨】(1)根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样;根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数;
(2)利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80,85)的人数和[85,90)人数,用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件,找出抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的基本事件,利用个数比求概率..
19. (13分)数列{an}中,a1=2,an+1=an+c?2n(c是常数,n=1,2,3…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求{an}的通项公式.
参考答案:
【考点】数列递推式.
【分析】(Ⅰ)由递推式表示出a2,a3,由a1,a2,a3成等比数列可得关于c的方程,解出即得c值,注意检验;
(Ⅱ)利用累加法可求得an,注意检验n=1时是否满足an;
【解答】解:(Ⅰ)a1=2,a2=2+2c,a3=2+6c,
∵a1,a2,a3成等比数列,
∴(2+2c)2=2(2+6c),
解得c=0或c=1.
当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故c=1.
( 2)∵an+1=an+2n,
∴a2=a1+21,
a3=a2+22,
a4=a3+23,
…,
an=an﹣1+2n﹣1,
累加可得an=a1+2+21+22+…+2n﹣1=2+=2n,
当n=1时,也满足,
故{an}的通项公式an=2n,(n∈N*)
【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识,属中档题.
20. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,且直线l与曲线C交于P,Q两点.
(Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)把直线l与x轴的交点记为A,求|AP|·|AQ|的值.
参考答案:
(Ⅰ)解:(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为. …………………………………………4分
(Ⅱ)解法1:在中,令,得,则,联立消去得.设,,其中 ,则有,.,,故.(或利用为椭圆的右焦点,则.) …10分
解法2:把代入得,则,则.………………………………10分
21. 已知数列的前项和为,且
(1)证明数列是等比数列,并求;
(2)当时,设,试确定实数的值,使数列为等差数列;
(3)已知集合,问是否存在正数,使得对于任意的,都有,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
参考答案:
解(1)∵,∴当时,
两式相减得得
∴恒成立,且,
∴是等比数列,
又的首项,公比为, ∴
(2)当时,由(1)得
∴
要使为等差数列,则
即
解得,
又当时,,∴为等差数列
综上所述:
(3)若,则,, ∴,不合题意;
若则,,∴,不合题意;
若,则
∴
要使,则,解得,
综上所述,满足条件的正数存在,的取值范围为
略
22. 如图,为正三角形,且,,将沿翻折.
(1)若点的射影在上,求的长;
(2)若点的射影在内,且与面所成的角的正弦值为,求的长.
参考答案:
(1);(2).
试