2022-2023学年山东省临沂市蒙阴第一中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
D
2. 已知命题命题则下列命题中为真命题的是( )
参考答案:
B
3. 已知是上的减函数,那么的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex,则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
参考答案:
D
【分析】因为函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x).
用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣f(x)﹣g(x)=e﹣x,又由f(x)﹣g(x)=ex联立方程组,可求出f(x),g(x)的解析式进而得到答案.
【解答】解:用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=e﹣x,即f(x)+g(x)=﹣e﹣x,
又∵f(x)﹣g(x)=ex
∴解得:,,
分析选项可得:
对于A:f(2)>0,f(3)>0,g(0)=﹣1,故A错误;
对于B:f(x)单调递增,则f(3)>f(2),故B错误;
对于C:f(2)>0,f(3)>0,g(0)=﹣1,故C错误;
对于D:f(x)单调递增,则f(3)>f(2),且f(3)>f(2)>0,而g(0)=﹣1<0,D正确;
故选D.
【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用.另外还考查了指数函数的单调性.
5. 设,则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
6. 已知函数在上是减函数,则的取值范围是( )
A B C D
参考答案:
A
7. 设函数f(x)=ax+bx﹣cx,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的是( )
①对一切x∈(﹣∞,1)都有f(x)>0;
②存在x∈R+,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
参考答案:
D
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】①利用指数函数的性质以a.b.c构成三角形的条件进行证明.②可以举反例进行判断.③利用函数零点的存在性定理进行判断.
【解答】解:①∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,
∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1,
当x∈(﹣∞,1)时,f(x)=ax+bx﹣cx=cx[+﹣1]
>cx?()=cx?>0,∴①正确.
②令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,
但a2=4,b2=9,c2=16却不能构成三角形,∴②正确.
③∵c>a>0,c>b>0,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2﹣c2<0,
∵f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a2+b2﹣c2<0,
∴根据根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,
即?x∈(1,2),使f(x)=0,∴③正确.
故选:D
8. 已知函数,,且在区间上有最小值,无最大值,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
据题设分析知,直线为函数图象的一条经过一最低点对称轴,,又当时,,故选D.
9. 设函数的定义域为R,如果存在函数为常数),使得对于一切实数都成立,那么称为函数的一个承托函数. 已知对于任意,是函数的一个承托函数,记实数a的取值范围为集合M,则有( )
A. B. C.
D.
参考答案:
C
略
10. 设函数与的图像的交点为,则所在的区间是
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且
.设是底面内一点,
定义,其中、、分别是三棱
锥、 三棱锥、三棱锥
的体积.若,且恒成立,
则正实数的最小值为______________.
参考答案:
1
略
12. 等差数列的前项和为,若,则
参考答案:
6
可已知可得,
13. 某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为 .
参考答案:
略
14. 若函数为奇函数,则曲线在点处的切线方程为______________.
参考答案:
【分析】
由函数是奇函数可得,得到函数解析式,则可得,再求在处的导函数即可得到切线斜率,根据点斜式写出切线方程即可.
【详解】为奇函数,则,,
,,又,
曲线在点处的切线方程为,即.
【点睛】本题考查导数几何意义的应用,由奇函数求得参数,得到函数解析式是本题解题关键.
15. 已知集合,且下列三个关系:???有且只有一个正确,则
参考答案:
201
16. 已知函数f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0恒成立,则的最小值为 .
参考答案:
﹣
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】求出,x>0,当a≤e时,f′(x)>0,f(x)≤0不可能恒成立,当a>e时,由,得x=,由题意当x=时,f(x)取最大值0,推导出(a>e),令F(x)=,x>e,F′(x)=,令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,H′(x)=ln(x﹣e)+1,由此利用导数性质能求出的最小值.
【解答】解:∵函数f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e为自然对数的底数,
∴,x>0,
当a≤e时,f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)≤0不可能恒成立,
当a>e时,由,得x=,
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值为0,
当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴当x=时,f(x)取最大值,
f()=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴ln(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
∴(a>e),
令F(x)=,x>e,
F′(x)==,
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+,
当x∈(e+,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数,
x∈(e,e+)时,H′(x)<0,H(x)是减函数,
∴当x=e+时,H(x)取最小值H(e+)=﹣e﹣,
∵x→e时,H(x)→0,x>2e时,H(x)>0,H(2e)=0,
∴当x∈(e,2e)时,F′(x)<0,F(x)是减函数,
当x∈(2e,+∞)时,F′(x)>0,F(x)是增函九,
∴x=2e时,F(x)取最小值,F(2e)==﹣,
∴的最小值为﹣.
故答案为:﹣.
17. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件
则该校招聘的教师最多是 名.
参考答案:
10
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分,每题5分)
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。
参考答案:
19. 已知,
(1) 若,求;
(2) 是否存在实数a使得集合中的元素个数为4个?若存在,求出所有的实数a;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1);(2)
20. (14分)(2013?合肥二模)已知函数f(x)=xlnx.
(I)若函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点,求实数a的最大值;
(II)若?x>0,≤x﹣kx2﹣1恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
专题: 导数的综合应用.
分析: (I))由函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点,即g(x)=xlnx+x2+ax+2在(0,+∞)上有实数根.
即﹣a=lnx+x+在(0,+∞)上有实数根.令h(x)=,(x>0),利用导数求出h(x)的最小值,则﹣a≤h(x)min.
(II))由已知?x>0,≤x﹣kx2﹣1恒成立?.令g(x)=x﹣1﹣lnx,x>0.利用导数得出g(x)的最小值即可.
解答: 解:(I)∵函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点,
∴g(x)=xlnx+x2+ax+2在(0,+∞)上有实数根.
即﹣a=lnx+x+在(0,+∞)上有实数根.
令h(x)=,(x>0),则=.
解h′(x)<0,得0<x<1;解h′(x)>0,得x>1.
∴h(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.
∴h(x)在x=1时取得极小值,即最小值h(1)=3.
∴﹣a≥3,解得a≤﹣3.∴实数a的最大值为﹣3.
(II)∵?x>0,≤x﹣kx2﹣1恒成立,
∴lnx≤x﹣1﹣kx2,即.
令g(x)=x﹣1﹣lnx,x>0.
=,
令g′(x)>0,解得x>1,∴g(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
令g′(x)<0,解得0<x<1,∴g(x)在区间(0,1)上单调递减.
∴当x=1时,g(x)取得极小值,即最小值,∴g(x)≥g(1)=0,
∴k≤0,即实数k的取值范围是(﹣∞,0].
点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键.
21. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1,2,3,4的4个球,现从甲、乙两个盒子中各取出一个球,每个球被取出的可能性相等.
(1)请列出所有可能的结果;
(2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率;
(3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.
参考答案:
(1)解:从甲、乙两个盒子中各取出一个球,所有可能的结果为:
,,,,,,,,,,,,,,,,
共种情况.
(2)解:设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件,
事件的所有可能的结果为:
,,,,,,共种情况,
∴.
(3)解:设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于”为事件,
事件的所有可能的结果为:
,,,,,,,,,,,共种情况,
∴.
22. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立,证明:当时,.
参考答案:
(1).
若,,在上递减;
若,当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.4分
(2)由(1)知,若,,在上递减,
又,故不恒成立.
若,当时,单调递增,,不合题意.
若,当时,单调递减,,不合题意.
若,在上单调递减,在上单调递增.
符合题意.
故,且(当且仅当时取“”). 8分
当时,
因为,所以.
因此.12分