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2021-2022学年河南省鹤壁市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. 2. 3.当x→0时,3x2+2x3是3x2的( )。 A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小但不是等价无穷小 D.等价无穷小 4. A.没有渐近线 B.仅有水平渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 5. 6. A.2 B.1 C.1/2 D.-1 7. A.6Y B.6XY C.3X D.3X^2 8. 9. 10. A.3 B.2 C.1 D.1/2 11. A.-1/2 B.0 C.1/2 D.1 12.设函数y=f(x)二阶可导,且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+△x)-f(x), dy=f(x)△x,则当△x>0时,有( ) A.△y>dy>0 B.△
Ay>0 D.dy<△y<0 13.设z=ln(x2+y),则等于( )。 A. B. C. D. 14. 15.设y=cos4x,则dy=()。 A.4sin4xdx B. -4sin4xdx C.(1/4)sin4xdx D. -(1/4)sin4xdx 16. 17.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处 A.取得极大值 B.取得极小值 C.无极值 D.无法判定 18. 19.曲线Y=x-3在点(1,1)处的切线的斜率为( ). A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 20. 二、填空题(20题) 21. 22. 设y=f(x)在点x=0处可导,且x=0为f(x)的极值点,则f(0)= __________ 23. 24. 25. 26. 27. y″+5y ′=0的特征方程为——. 28. 29. 30.过点M1(1,2,-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为_________. 31. 32. 33.曲线y=(x+1)/(2x+1)的水平渐近线方程为_________. 34.设y=y(x)由方程x2+xy2+2y=1确定,则dy=______. 35. 36.过原点(0,0,0)且垂直于向量(1,1,1)的平面方程为________。 37. 38.如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=________。 39. 40.设y=,则y=________。 三、计算题(20题) 41. 42. 43.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几? 44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点. 45. 46.证明: 47. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数. 48.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0. 49. 50.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则 51. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值. 52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度 u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m. 53. 54. 55. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程. 56. 求曲线在点(1,3)处的切线方程. 57. 58. 求微分方程的通解. 59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为 S(x). (1)写出S(x)的表达式; (2)求S(x)的最大值. 60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解. 四、解答题(10题) 61. 62. 63. 64. 65.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a,a2)处作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12.试求: (1)切点A的坐标((a,a2). (2)过切点A的切线方程. 66. 67.研究y=3x4-8x3+6x2+5的增减性、极值、极值点、曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点. 68. 69. 70. 五、高等数学(0题) 71.求极限 六、解答题(0题) 72. 求曲线y=ln(1+x2)的凹区间。 参考答案 1.D 2.C解析: 3.D 本题考查的知识点为无穷小阶的比较。 由于,可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小,故应选D。 4.D 本题考查了曲线的渐近线的知识点, 5.B 6.A 本题考查了函数的导数的知识点。 7.D 8.D 9.C解析: 10.B ,可知应选B。 11.B 12.B 13.A 本题考查的知识点为偏导数的计算。 由于 故知应选A。 14.C 15.B 16.D 17.C 18.A 19.C 点(1,1)在曲线.由导数的几何意义可知,所求切线的斜率为-3,因此选C. 20.B解析: 21.(1/3)ln3x+C 22. 23. 24.本题考查的知识点为幂级数的收敛区间。 由于所给级数为不缺项情形, 25.0. 本题考查的知识点为定积分的性质. 积分区间为对称区间,被积函数为奇函数,因此 26. 由不定积分的基本公式及运算法则,有 27.由特征方程的定义可知,所给方程的特征方程为 28. 29. 30. 31. 32.0 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点. 33.y=1/2 本题考查了水平渐近线方程的知识点。 34. ; 35.0 36.x+y+z=0 37.-2-2 解析: 38.f"(ξ)(b-a)由题目条件可知函数f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此必定存在一点ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。 39.[01)∪(1+∞) 40. 41. 42. 由一阶线性微分方程通解公式有 43.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5% 44. 列表: 说明 45. 46. 47. 48. 49. 则 50.由等价无穷小量的定义可知 51. 函数的定义域为 注意 52.由二重积分物理意义知 53. 54. 55. 56.曲线方程为,点(1,3)在曲线上. 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0. 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点 (x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为 57. 58. 59. 60.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0, 61. 62. 63. 64. 65.由于y=x2,则y'=2x,曲线y=x2上过点A(a,a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a),即y=2ax-a2,曲线y=x2, 其过点A(a,a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积 由题设S=1/12,可得a=1, 因此A点的坐标为(1,1). 过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1. 解析:本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。 本题在利用定积分表示平面图形时,以y为积分变量,以简化运算,这是值得注意的技巧。 66.【解析】本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分. 解法1 解法2利用微分运算 【解题指导】 求二元隐函数的偏导数有两种方法: 67. 本题考查的知识点为导数的应用. 这个题目包含了利用导数判定函数的单调性; 求函数的极值与极值点; 求曲线的凹凸区间与拐点. 68. 69. 70. 71. 72.
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