2022-2023学年河北省邯郸市路桥乡中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对?x1∈-1,2,?x0∈-1,2,使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是( )
A. B.
C.3,+∞) D.(0,3
参考答案:
A
2. 复数(为虚数单位)的共轭复数在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
略
3. 设集合,则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图,输入的的值为33,则输出的的值为
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
参考答案:
C
【命题意图】本小题主要考查程序框图,数列求和等基础知识;考查学生的运算求解能力及数据处理能力;考查化归与转化思想、分类与整合思想;考查数学抽象和数学运算等.
【试题简析】解法一:开始执行,然后
,再执行一行,然后输出
解法二:本题要解决的问题是数列求和的问题,
,解得的最小值为6.
【错选原因】错选A:可能把误当成来算;
错选B:当执行到时,,学生估值失误,误以为会达到33或按四舍五入得到.
错选D:可能先执行了后才输出.
6. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )
A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣8
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,循环可得结论.
【解答】解:模拟程序的运行,可得:
i=0,x=1,y=1,
不满足条件i>3,y=2,x=﹣1,i=1,
不满足条件i>3,y=1,x=﹣2,i=2,
不满足条件i>3,y=﹣1,x=﹣1,i=3,
不满足条件i>3,y=﹣2,x=1,i=4,
满足条件i>3,退出循环,输出x+y的值为﹣1.
故选:B.
7. 已知直线l,m,平面α,β且l⊥α,m?β,给出四个命题,其中真命题的个数是:( )
①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;④若l∥m,则α⊥β.
A、1 B、2 C、3 D、4
参考答案:
B
8. 已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2﹣bc,bc=4,则△ABC的面积为( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】由已知及余弦定理可求cosA,从而可求sinA的值,结合已知由三角形面积公式即可得解.
【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc,
∴由余弦定理可得:cosA===,又0<A<π,
∴可得A=60°,sinA=,
∵bc=4,
∴S△ABC=bcsinA==.
故选:C.
【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论,属于基本知识的考查.
9. 设为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
参考答案:
B
【分析】
对于A,利用空间中面面的位置关系即可判定A错误,对于B,利用线面垂直的性质即可判定B正确,对于C,利用面面垂直的判定即可得到C错误,对于D,利用线面的位置关系即可判定故D错误.
【详解】若,,则平面可能相交,也可能平行,故A错误.
若,,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确.
若,,则存在直线,使,则,故此时,
故C错误.
若,,则与可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误.
故选:B.
【点睛】本题主要考查空间中面面的位置关系和线面的位置关系,同时考查了线面垂直的性质,属于简单题.
10. 已知集合,则A∩B=( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
求解出集合,根据交集定义求得结果.
【详解】
本题正确选项:
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x>0,y>0,且,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m的取值范围________.
参考答案:
[-4,2]
【分析】
由,可得展开,利用基本不等式可求得最小值,不等式等价于,据此求出的取值范围即可.
【详解】由,可得,
而恒成立,
所以恒成立,即恒成立,
解得,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质,以及一元二次不等式的解法的运用,属于中档题.
12. .i为虚数单位,设复数z满足,则z的虚部是____
参考答案:
分析:直接利用复数的乘法运算,化简复数,然后求出复数的虚部.
详解:由,可得,,可得,
所以,的虚部是,故答案为
点睛:本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念,意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.
13. 若实数成等差数列,点在动直线上的射影为,点,则线段长度的最小值是
参考答案:
14. 在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0),点P(0,p)在线段AO 上(异于端点),设a,b,c,p 均为非零实数,直线BP,CP 分别交AC,AB 于点E,F,一同学已正确算得OE的方程:,请你求OF的方程: .
参考答案:
略
15. 设抛物线的焦点为,直线过与交于两点,若,则的方程为 .
参考答案:
16. 正数a,b满足a>b,ab=1,则的最小值为 。
参考答案:
2
17. 方程的解集为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题14分)已知函数 ,其中
(1)求函数的零点; (2)讨论在区间上的单调性;
(3)在区间上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;
若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)函数的零点即方程=0的解
由得 ∴函数的零点为
(2)函数在区间上有意义,
令得∵ ∴
当在定义域上变化时,的变化情况如下:
[来源:学科网ZXXK]
∴在区间上是增函数,在区间上是减函数.
(3)在区间上存在最小值∵由(1)知是函数的零点,∴由知,当时,,又函数在上是减函数,且,∴函数在区间上的最小值为,且 ∴函数在区间上的最小值为=
19. 设函数,,记的解集为M,的解集为N.
(1)求M;
(2)当时,证明:.
参考答案:
20. 如图,已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(,0),(1,)是椭圆上的一个点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的上、下顶点分别为A,B,P(x0,y0)(x0≠0)是椭圆上异于A,B的任意一点,PQ⊥y轴,Q为垂足,M为线段PQ中点,直线AM交直线l:y=﹣1于点C,N为线段BC的中点,如果△MON的面积为,求y0的值.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(1)确定,利用是椭圆上的一个点,代入求出a,即可求椭圆的标准方程;
(2)求出M,N的坐标,利用平面向量的数量积判断OM⊥MN,利用△MON的面积为,建立方程,即可求y0的值.
【解答】解:(1)设椭圆方程为,由题意,得.
因为a2﹣c2=b2,所以b2=a2﹣3.
又是椭圆上的一个点,所以,解得a2=4或(舍去),
从而椭圆的标准方程为.
(2)因为P(x0,y0),x0≠0,则Q(0,y0),且.
因为M为线段PQ中点,所以.
又A(0,1),所以直线AM的方程为.
因为x0≠0,∴y0≠1,令y=﹣1,得.
又B(0,﹣1),N为线段BC的中点,有.
所以.
因此,
=.从而OM⊥MN.
因为,,
所以在Rt△MON中,,因此.
从而有,解得.
21. (本小题满分14分)
已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题设,,则,.
由,解得,所以.
所以椭圆的方程为. …………………………………………4分
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,弦的中点为,
则,,,,
所以.
直线的方程为,
令,得,则.
若四边形为菱形,则,.
所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
此时点到的距离为. ………………………………………………14分
22. (本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)当时,求函数的最大值;
(Ⅱ)令(),其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
参考答案:
(Ⅰ)依题意,的定义域为,
当时,,
……………………2分
由 ,得,解得
由 ,得,解得或
,在单调递增,在单调递减;
所以的极大值为,此即为最大值……………………4分
(Ⅱ),则有在上有解,
∴≥,
所以 当时,取得最小值……………8分
(Ⅲ)方法1由得,令,
令,∴在单调递增,……………10分
而,∴在,即,在,即,
∴在单调递减,在单调递增,……………12分
∴极小值=,令,即时方程有唯一实数解. 14分
方法2:因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,设,则令,
因为所以(舍去),,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
当时,取最小值. ……………10分
若方程有唯一实数解,
则必有 即
所以因为所以……………12分
设函数,因为当时,是增函数,所以至多有一解.
∵,∴方程(*)的解为,即,解得………14分