2022-2023学年河南省开封市小石中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为 A．      B．     C．       D．        参考答案： A 2. 在△ABC中，则∠BAC=     A．30°             B． 120°           C．150°            D． 30°或150                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                参考答案： C 3. 在数列中，若对任意的均有为定值（）， 且，则数列的前100项的和   A．                   B．                   C．                       D． 参考答案： 4. 若复数（m2﹣1）+（m+1）i为实数（i为虚数单位），则实数m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 参考答案： A 【考点】复数的基本概念． 【分析】令虚部为0即可求得． 【解答】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数， ∴m+1=0，解得m=﹣1， 故选A． 5. 已知，则的值等于（      ）      A.             B.               C.                D. 参考答案： B 略 6. 设函数 是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A、   B、  C、 D、 参考答案： 【知识点】函数的奇偶性与单调性；B3，B4 【答案解析】  A 解析：解:因为函数为偶函数，所以，又因为在上函数单调递增，所以可得，所以A正确. 【思路点拨】先利用函数的奇偶性把自变量化简到同一个区间，再根据函数的单调性进行求解. 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=1，=，若A=2B，则△ABC的周长为（    ） A. 3 B. 4 C. D. 参考答案： D 【分析】 由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈(0，π)，可求A，根据已知可求B，利用三角形内角和定理可求C，根据正弦定理可求a，c的值，即可得三角形的周长． 【详解】∵=， ∴由正弦定理可得=，整理可得b2+c2-a2=bc， ∴cosA===， ∵A∈(0，π)，∴A=， ∵A=2B，∴B=，C=π-A-B=， ∵b=1，∴，解得a=，c=2， ∴△ABC的周长为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属基础题． 8. 设函数 ()是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤≤  时 (msin)+f(1-m)＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）   A、（0， 1） B、（-，0） C、（-，）  D、（-， 1） 参考答案： D 9. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： B 考点： 集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值． 专题： 计算题． 分析： 利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可． 解答： 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B． 点评： 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（    ）． A. 1 B. 2019 C. －1 D. －2019 参考答案： A 【分析】 计算部分数值，归纳得到，计算得到答案. 【详解】；；；… 归纳总结： 故 故选： 【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为          ． 参考答案： 12. 展开式的常数项是          ． 参考答案：    13. 若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是　　． 参考答案： （1，+∞） 【考点】7E：其他不等式的解法． 【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之． 【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1； 故x的取值范围为（1，+∞）； 故答案为：（1，+∞）； 14. 下列说法正确的是___________.(填序号) ①直线：与直线：平行的充要条件是； ②若，则的最大值为1； ③曲线与直线所夹的封闭区域面积可表示为； ④若二项式的展开式系数和为1，则. 参考答案： ②③ 当且时，，故①错；若同为正，则，同为负，则；异号，，所以②正确；③作图即可确认正确；当时，，则或，故④错． 15. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=3，若点D、E都在边BC上，且∠BAD=∠CAE=30°，则=　　． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】根据条件便可由正弦定理分别得到， =①BE=②=③CD=④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，从而得：的值． 【解答】解：如图，由正弦定理得， =① BE=② =③ CD=④ ∴得： =． 故答案为． 16. 集合，，则_________． 参考答案： .,所以. 17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为   ▲    ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (14分)数列{ }满足，.(1)求数列{ }通项公式 (2)若,｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m，对任意n∈N+且n≥2都有 成立，求m的最大值. 参考答案： 解：（1）， ∴  ∴为首次为-2，公差为-1的等差数列ks5u ∴=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）     ∴     (2)   令 ∴= =    ∴Cn+1-Cn>0∴｛Cn｝为单调递增数列 ∴∴∴m<19  又 ∴m的最大值为18 19. 选修4-5：不等式选讲 设函数f（x）=|2x﹣1|． （Ⅰ）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）； （Ⅱ）若实数a，b满足a﹣2b=2，求f（a+1）+f（2b﹣1）的最小值． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义． 【分析】（1）两边平方得到关于x的不等式，解出即可；（2）求出f（a+1）+f（2b﹣1）的解析式，根据绝对值的性质求出其最小值即可． 【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1| ?16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1 ?12x2﹣12x≤0， 解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]． （2）f（a+1）+f（2b﹣1） =|2（a+1）﹣1|+|2（2b﹣1）﹣1| =|4b+3|+|4b﹣3|≥|4b+3﹣4b+3|=6． 　 20. （本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程． 已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）． （Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值. 参考答案： （Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为，又, 所以曲线的直角坐标方程为 …………………3分    （Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得,…………4分     令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(0,1)， 半径，则,……………………………………………………6分    所以.即的最大值为……………………7分 21. （本小题满分12分）某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取100人的成绩进行统计分析.抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人. （I）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值； （II）若样本中，求在地理成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率. 参考答案： （Ⅰ）由，得，                  …………3分 ∵∴， ∴，；                                        …………6分 （Ⅱ）由题意知，且， ∴满足条件的有, 共14组. 且每组出现的可能性相同.                                  …………9分 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： 共6组.      …………11分 22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式的解集为(1,2). （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）先设等差数列的首项，公差为，根据题意求出首项与公差，进而可求出通项公式； （2）由（1）得，再根据等差数列与等比数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）依题意可得：设等差数列的首项，公差为， 因为关于的不等式的解集为， 则由得； 又，∴，, ∴. （2）由题意可得，， 所以, ∴.