2022-2023学年湖北省荆门市钟祥第八中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量满足，且关于的函数在R上有极值，则向量的夹角的取值范围为                  （    ） A.            B.            C.            D. 参考答案： C 略 2. 已知偶函数f(x)满足，且当时，，关于x的不等式在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 分析：由偶函数f(x)满足，可得函数周期为8，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在[0,200]上有25个周期，且有150个整数解，每个周期内有6个解， 由可得结果. 详解： 由，可知函数的对称轴为， 由于函数是偶函数，, 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 函数在上递增，在上递减， 最大值，且， 由选项可知，解得或， 根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解， 根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解， 也即每个周期内有6个解，， 故，解得，故选D. 点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 3. 已知M为△ABC内一点， =+，则△ABM和△ABC的面积之比为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】向量的三角形法则． 【分析】作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为． 【解答】解：设，，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F， 则EF∥AB， ∴==． 故选：A． 4. 已知函数f（x）=|sinx|?cosx，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线x=对称 B．f（x）的周期为π C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z） D．f（x）在区间[，]上单调递减 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象． 【分析】f（x）=|sinx|?cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论． 【解答】解：∵f（x）=|sinx|?cosx=， 故函数的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，故A错误； f（x）的周期为2π中，故B错误； 函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误； f（x）在区间[，]上单调递减，故D正确； 故选：D 5. 设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为       参考答案： B 略 6. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（    ） A、9  B、18  C、27 D、36 参考答案： B 略 7. 设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于 A．[－1，3）    B．（0，2]         C．（1，2]          D．（2，3） 参考答案： B 8. 等比数列中,,则                        （    ） A．            B．             C．           D．  参考答案： 答案：B 9. 如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由=3，可得=+， =﹣，进而由AB=8，AD=5， =3， ?=2，构造方程，进而可得答案． 【解答】解：∵=3， ∴=+， =﹣， 又∵AB=8，AD=5， ∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2， 故?=22， 故答案为：C． 　 10. 函数f（x）的图象大致为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意，函数满足，即是奇函数，图象关于原点对称，排除B，又由当时，恒成立，排除A，D， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合,从集合中任选三个不同的元素组成集合，则能够满足的集合的概率为=           ； 参考答案： 答案：  12. 已知等比数列满足，则 ▲  . 参考答案： 16   13. 圆O中，弦，则的值为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD．则D为BC的中点，．．又，，即可得出． 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥BC交BC于点D，连接AD． 则D为BC的中点，．．又，， ∴==== =． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 设函数cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=           . 参考答案： 15. 函数的反函数是，则反函数的解析式是　　　． 参考答案： 16. 复数在复平面上对应的点在第        象限．  参考答案： 四 略 17. 已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为　　． 参考答案：   【考点】三角形中的几何计算． 【分析】先根据三角形内角和，得到∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，从而∠A=∠C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得△ABC的面积为BC?ABsinB=，得到正确答案． 【解答】解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=120°， ∴∠C=180°﹣30°﹣120°=30° ∴∠A=∠C?BC=AB=6 由面积正弦定理公式，得 S△ABC=BC?ABsinB=×6×6sin120°= 即△ABC的面积为． 故答案为： 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点， S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB = SC = 2． （Ⅰ）求证：OM⊥BC； （Ⅱ）当四面体S－ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为， 二面角B－SA－C的大小为，分别求的值． 参考答案： （Ⅰ）略（Ⅱ）， 试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明 BC⊥平面SAC，从而得出OM⊥BC的；（Ⅱ）先找出四面体S－ABC的体积最大时成立的条件， 进而找出线面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决. 试题解析：(Ⅰ)证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC 又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC ∵，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA 2分 O、M分别为AB、SB的中点，故OM平行于SA ∴OM⊥BC 4分 (Ⅱ)解：四面体S－ABC的体积 当且仅当时取得最大值 6分 方法一 取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC ∴， 9分 作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知BC⊥SA，∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA 故，在中，, 12分 方法二 以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则 C(0，0，0)，A( ，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，2) 进而M(0，，1)， 是平面ABC的一个法向量， 故， 9分 设v = (x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即 故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量 故 12分 考点：空间点、线、面的位置关系 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点． （1）求证：EF∥平面PAB； （2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明CD∥EF，AB∥CD，即可证明AB∥EF，利用线面平行的判定即可得解； （2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD； 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点， 所以CD∥EF． 因为底面ABCD是矩形， 所以AB∥CD．可得：AB∥EF， 又因为EF?平面PAB，AB?平面PAB， 所以EF∥平面PAB．… （2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD． 又因为平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以CD⊥平面PAD． 又AF?平面PAD， 所以CD⊥AF． 由（1）可知AB∥EF， 又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点． 在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD． 又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．… 20. 如图，一个小球从M处投入，通过管道自 上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落 到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖． （I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望； (II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求． 参考答案： 解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。  (Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为 ξ 50％ 70％ 90％ p 则Εξ=×50％+×70％+90％=. （Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=. 由题意得η～（3，） 则P（η=2）=()2(1-)=. 21. (本小题满分12分)在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10,0.05，第二小组的频数是40.   (1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)求这两个班参赛的学生人数是多少？