2022-2023学年辽宁省丹东市凤城玉龙中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点: 简单空间图形的三视图.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 由已知中锥体的侧视图和俯视图,画出该几何的直观图,进而可得该锥体的正视图.
解答: 解:由已知中锥体的侧视图和俯视图,
可得该几何体是四棱锥,
由侧视图和俯视图可得,该几何的直观图如图所示:
顶点P在底面ABCD上的射影为CD的中点O,
故该锥体的正视图是:
故选A
点评: 本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图,其中根据已知中的三视图,画出直观图是解答的关键.
2. 定义在R上的奇函数f (x)满足f(x+1)=f(一x),当x∈(0,1)时,
,则f (x)在区间[1,]内是( )
A.增函数且f(x)>0 B.增函数且f(x)0 D.减函数且f(x)<0
参考答案:
D
3. 设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列四个命题为真命题的是( )
①若m⊥α,n⊥m,则n∥α;
②若α∥β,n⊥α,m∥β,则n⊥m;
③若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
④若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β.
A.②③ B.③④ C.②④ D.①④
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】①,若m⊥α,n⊥m,则n∥α或n?α;
②,若α∥β,n⊥α?n⊥β,又∵m∥β,则n⊥m;
③,若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α、β不一定垂直;
④,若n⊥β,m∥n?m⊥β,又∵m∥α,则α⊥β.
【解答】解:对于①,若m⊥α,n⊥m,则n∥α或n?α,故错;
对于②,若α∥β,n⊥α?n⊥β,又∵m∥β,则n⊥m,故正确;
对于③,若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α、β不一定垂直,故错;
对于④,若n⊥β,m∥n?m⊥β,又∵m∥α,则α⊥β,故正确.
故选:C
4. 直线l过抛物线y2=4x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点B在x轴下方,若直线l的倾斜角θ≤,则|FB|的取值范围是( )
A.(1,4+2] B.(1,3+2] C.(2,4+2] D.(2,6+2]
参考答案:
A
考点:抛物线的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:如图所示,抛物线y2=4x的焦点F(1,0).当θ=时,直线l的斜率k=﹣1,直线l的方程为y=﹣(x﹣1),与抛物线方程联立可得x2﹣6x+1=0,解得x=3±2,取x=3+2,可得|FB|的最大值为3+2+1.由于直线l的倾斜角θ≤,即可得出|FB|的取值范围.
解答: 解:如图所示,
抛物线y2=4x的焦点F(1,0).
当θ=时,直线l的斜率k=﹣1,
直线l的方程为y=﹣(x﹣1),
联立,化为x2﹣6x+1=0,
解得x=3±2,
取x=3+2,
可得|FB|的最大值为3+2+1=4+2.
∵直线l的倾斜角θ≤,
∴|FB|的取值范围是(1,4+2].
故选:A.
点评:本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题,考查了计算能力,属于基础题.
5. 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f’(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
(A)(-1,1) (B)(-1,+) (C)(-,-1) (D)(-,+)
参考答案:
B
6. 若p是q的充分不必要条件,则下列判断一摩军确的是( )
A.p是q的必要不充分条件
B.-q是p的必要不充分条件
C.p是q的必要不充分条件
D.q是p的必要不充分条件
参考答案:
C
7. 已知空间直线不在平面内,则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的 ( ).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
参考答案:
B
8.
圆上的动点P到直线x+y-7=0的距离的最小值等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
9. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图所示,则f(1)+f(2)+…+f=( )
A.2011 B. C.2012 D.
参考答案:
C
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求出解析式,再利用函数的周期性求得所求式子的值.
【解答】解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象可得 b=1;A=1.5﹣1=0.5;=4,ω=;φ=0.
故函数f(x)=0.5sin(x)+1,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.5+1+0.5+1=4,
故f(1)+f(2)+…+f=503×4=2012,
故选:C.
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,利用函数的周期性求函数的值,属于中档题.
10. 已知集合M={x∣x>1},集合N={ x ∣x 2-2 x <0},则M∩N等于
A. { x∣1<x<2} B. { x∣0<x<1} C.{ x∣0<x<2} D.{ x∣x>2}
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 有下列五个命题: .
①为等比数列,是其前n项和,则成等比数列;
②在同一坐标系中,当时,与的图象有且只有一个交点;
③在一个四面体中,四个面有可能全是直角三角形;
④则,;
⑤当m>n>0时,的最小值为4.
其中直命题是_______(填出所有真命题的编号).
参考答案:
②③⑤
略
12. 设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k= ;
参考答案:
(p+1)2
解:设=n,则(k-)2-n2=,T(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,Tk=(p+1)2.
13. 为估计一圆柱形烧杯A底面积的大小,做以下实验:在一个底面边长为a的正四棱柱容器B中装有一定量的白色小球子,现用烧杯A盛满黑色小珠子(珠子与杯口平齐),将其倒入容器B中,并充分混合,此时容器B中小珠子的深度刚好为a(两种颜色的小珠子大小形状完全相同,且白色的多于黑色的)现从容器B中随机取出100个小珠子,清点得黑色小珠子有25个。若烧杯A的高度为h,于是可估计此烧杯的底面积S约等于 。
参考答案:
14. 在△ABC中,,,,则∠C=_________.
参考答案:
15. 已知函数,则其最大值为
参考答案:
16. 已知双曲线C:的左、右焦点为F1、F2,过F1且斜率为的直线与C的一条渐近线在第一象限相交于A点,若,则该双曲线的离心率为______.
参考答案:
3
【分析】
由得,从而有,再由直角三角形性质得,变形可得.
【详解】∵,∴是直角三角形,又是中点,∴,又在双曲线渐近线上,∴,∴,变形可得:,,∴,.故答案为3.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质,解题关键是掌握双曲线的性质:即过双曲线的右顶点作轴垂线,交渐近线于点,则,.
17. 已知函数,则,则a的取值范围是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A、B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.
(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C﹣ADE体积最大时,求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
参考答案:
【考点】MJ:与二面角有关的立体几何综合题;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此证明DE⊥平面ACD,从而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC…,
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…,
∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…
∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四边形,BC∥DE,
∴DE⊥平面ACD…,
∵DE?平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD…
(Ⅱ)依题意,…,
由(Ⅰ)知
=
=
,
当且仅当时等号成立 …
如图所示,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,1),, ,
∴,,
,…
设面DAE的法向量为,
,即,∴,…
设面ABE的法向量为,
,即,∴,
∴…
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补,
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为. …
19. (本小题满分12分,(Ⅰ)小题5分,(Ⅱ)小题7分)
设的导数为,若函数的图像关于直线对称,且.
(Ⅰ)求实数的值(Ⅱ)求函数的极值
参考答案:
20. 设三个内角所对应的边分别为,的面积满足.
(1)求角的值;
(2)求的取值范围.
参考答案:
(1)由余弦定理得
,
(2)
因为,所以, ,
所以.
21. 已知
(1)请写出的表达式(不需要证明);
(2)记的最小值为,求函数的最小值;
(3)对于(1)中的,设,,其中是自然对数的底数),若方程有两个不同实根,求实数的取值范围.
参考答案:
(1);(2) ;(3) .
解析:解 (1) 3分
(2), 4分
易知,当时,;当时,,
,
‘ 7分
易知函数单调递增,,
的最小值是; 8分
(3),方程即为 ;
又,其中,
易知在递减,在递增,,
且当时,;当时,; 10分
而,
当时, 12分
故要使方程有两个根,则, 13分
得 14分
略
22. 设g(x)=2x+,x.
(1)若m=1,求g(x)的单调区间(简单说明理由,