2021届高三数学“小题速练”17 答案解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 按照并集和交集的概念求解即可. 【详解】由题可知，则. 故选：B. 【点睛】本题考查并集和交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题. 2.“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 【详解】可变形为， 所以且，解之得：， 所以由“”不能推出“”， 但“”可以推出“”， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要条件和充分条件的判断，考查逻辑思维能力和推理能力，考查计算能力，属于常考题. 3.若向量, 且,则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意列出方程，求解即可得出结果. 【详解】因为向量，，所以， 又，所以，解得. 故选A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型. 4.张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片的数字之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，得到概率. 【详解】根据题意：和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，则. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由，从而可得,再根据指数函数的单调性可得，由对数函数的单调性有，从而得出答案. 【详解】由，所以 所以，又，而 所以 故选：C 【点睛】本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小,属于中档题题. 6.在三棱锥中，，，，， 点到底面的距离为，当三棱锥体积达到最大值时，该三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作平面于，连接，由体积最大，及已知垂直可得是矩形，又由已知，，得是外接球的直径，求出长即可得球表面积． 【详解】作平面于，连接，因为点到底面的距离为为定值，当三棱锥体积达到最大值时，面积最大，只有时，面积最大，所以， 由平面，平面，得，同理，又，，所以平面，而平面，所以，同理，所以是矩形，，又，所以， 由，，知中点到四点距离相等，因此是外接球的直径，所以外接球表面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查球的表面积，由已知垂直易知是外接球的直径，解题关键是证明在平面上的射影与构成矩形． 7.若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设切点为，由题意知，从而可得，根据 “1”的代换，可求出，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：，，设切点为，则， ，. 原式，当且仅当，即时等号成立， 即. 故选:C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等. 8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线的右支于、两点，且，点关于坐标原点的对称点为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设双曲线的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，则，在中，利用勾股定理得出，然后在中利用勾股定理可得出、的等量关系，由此可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，则四边形为平行四边形， 设，则， 由双曲线的定义可得，， ，，， 所以，四边形为矩形， 由勾股定理得，即，解得， ，，由勾股定理得，即， 双曲线的离心率为. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算能力，属于中等题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知，现有下面四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】 当时，由可得，进而得，当时 ，利用指对互化及换底公式可得. 【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确； 当时，由，可得， 则，所以B正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题. 10. 若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（ ） A. 若为椭圆,则 B. 若为双曲线,则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型. 【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，方程即为，它表示圆， 综上，选AD. 【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程. 11. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，则（ ） A. 平面MB1P⊥ND1 B. 平面MB1P⊥平面ND1A1 C. △MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值 D. △MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】 A. 由重合时判断；B. 结合由正方体的性质，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断C. 由△MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB，点P的射影到MB的距离不变判断；D. 由重合时判断. 【详解】A. 当重合时，平面MB1P⊥ND1不可能，故错误； B. 由正方体的性质得,所以MB1⊥平面ND1A1 ， 又平面MB1P，所以平面MB1P⊥平面ND1A1，故正确； C. △MB1P在底面ABCD上的射影的三角形的底边是MB，点P在底面ABCD上的射影在DC上，所以点P当MB的距离不变，即射影图形的面积为定值，故正确； D. 当重合时，在侧面DD1C1C上的射影重合，所以射影不能构成三角形，故错误； 故选：BC 【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题. 12. 已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上为增函数 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 方程在区间上有4个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由，得到函数为偶函数，又由当且时，都有成立，得到在为增函数，再根据，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 以为对于任意，都有，可得函数为偶函数， 又因为当且时，都有成立， 可得函数在区间为增函数， 又由，令，可得， 解得，所以，所以函数是周期为4的周期函数， 则函数的图形，如图所示， 由图象可得，所以A正确； 函数在区间上为减函数，所以B不正确； 直线是函数的一条对称轴，所以C正确； 方程在区间上，共有个不同的实数根，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解. 三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”、“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有______种． 【答案】81 【解析】 【分析】 根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都相同，由分步计数原理即可求解． 【详解】设4位数的回文数为，即可知4位数的回文数为， 又因为四个数字不能都相同，需减掉，即形如共， 所以 故答案为 【点睛】本题考查分步计数原理，同时需理解“回文数”，属于基础题． 14. 双曲线的渐近线方程为_____，设双曲线经过点(4,1),且与双曲线具有相同渐近线,则双曲线的标准方程为_______． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 (1)由焦点在轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设,代入点求得即可. 【详解】(1)双曲线的焦点在轴上,且,渐近线方程为, 故渐近线方程为 故答案为 (2)由双曲线与双曲线具有相同渐近线,可设,代入有,故,化简得 故答案为 【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的方程为, 与共渐近线方程可设为 15. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先逆用两角和的正弦得到，令，则的值即为的值，利用二倍角的余弦值可求此值. 【详解】由可以得到， 所以，设，则 则， 所以. 故答案为. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 16. 在直三棱柱中，且，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为2，则球O的表面积的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，，则，取，的中点分别为，，外接球的球心为，则为的中点即为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得，表示出，根据基本不等式即可得到球的表面积的最小值． 【详解】如图， 在中，设，，则， 取，的中点分别为，， 则，分别为和的外接圆的圆心，连接， 又直三棱柱的外接球的球心为，则为的中点，连接，则为三棱柱外接球的半径． 设半径为，因为直三棱柱，所以，所以三棱锥的高为2，即，又三棱锥体积为2，所以． 在中，， 所以，当且仅当时取“=”，所以球的表面积的最小值是，故答案为. 【点睛】本题主要考查借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等，属于中档题．