2022年内蒙古自治区巴彦淖尔市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.()。
A.
B.
C.
D.
2.
3.设函数f(x)在区间(0,1)内可导,f'(x)>0,则在(0,1)内f(x)( ).
A.单调增加 B.单调减少 C.为常量 D.既非单调,也非常量
4.设函数f(x)在点x0。处连续,则下列结论正确的是( ).
A.A.
B.
C.
D.
5.如图所示两楔形块A、B自重不计,二者接触面光滑,受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用,则( )。
A.A平衡,B不平衡 B.A不平衡,B平衡 C.A、B均不平衡 D.A、B均平衡
6.( )。
A.为无穷小 B.为无穷大 C.不存在,也不是无穷大 D.为不定型
7.
8.滑轮半径,一0.2m,可绕水平轴0转动,轮缘上缠有不可伸长的细绳,绳的一端挂有物体A,如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律为φ=0.15t3rad,其中t单位为s。当t-2s时,轮缘上M点速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是( )。
A.M点的速度为VM=0.36m/s
B.M点的加速度为aM=0.648m/s2
C.物体A的速度为VA=0.36m/s
D.物体A点的加速度为aA=0.36m/s2
9.单位长度扭转角θ与下列哪项无关( )。
A.杆的长度 B.扭矩 C.材料性质 D.截面几何性质
10.
11.设z=y2x,则等于( ).
A.2xy2x-11
B.2y2x
C.y2xlny
D.2y2xlny
12.
13.下列关系式中正确的有( )。
A.
B.
C.
D.
14.设函数f(x)=sinx,则不定积分∫f'(x)dx=
A.A.sinx+C B.cosx+C C.-sinx+C D.-cosx+C
15.
16.
17.
18.半圆板的半径为r,重为w,如图所示。已知板的重心C离圆心的距离为
在A、B、D三点用三根铅垂绳悬挂于天花板上,使板处于水平位置,则三根绳子的拉力为( )。
A.F1=0.38w
B.F2=0.23w
C.F3=0.59w
D.以上计算均正确
19.
20.微分方程y'=1的通解为
A.y=x B.y=Cx C.y=C-x D.y=C+x
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
则b__________.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.设sinx为f(x)的原函数,则f(x)=________。
36.
37. 曲线y=1-x-x3的拐点是__________。
38.______。
39.
40.方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解为___________.
三、计算题(20题)
41.
42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
43. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
45.
46.证明:
47.
48. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
50.
51. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
52.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
53. 求微分方程的通解.
54.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
55.
56.
57. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
58.
59.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
四、解答题(10题)
61.(本题满分10分)
62.
63.
64.设z=xy3+2yx2求
65.
66.
67.设f(x)为连续函数,且
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.D
2.A
3.A
由于f(x)在(0,1)内有f'(x)>0,可知f(x)在(0,1)内单调增加,故应选A.
4.D
本题考查的知识点为连续性的定义,连续性与极限、可导性的关系.
由函数连续性的定义:若在x0处f(x)连续,则
可知选项D正确,C不正确.
由于连续性并不能保证f(x)的可导性,可知A不正确.
5.C
6.D
7.A
8.B
9.A
10.A
11.D
本题考查的知识点为偏导数的运算.
z=y2x,若求,则需将z认定为指数函数.从而有
可知应选D.
12.C解析:
13.B
本题考查的知识点为定积分的性质.
由于x,x2都为连续函数,因此与都存在。
又由于 0<x<1时,x>x2,因此 可知应选B。
14.A
由不定积分性质∫f'(x)dx=f(x)+C,可知选A。
15.C
16.D
17.A
18.A
19.A
20.D
21.y=Cy=C 解析:
22.
答案:1
23.所以b=2。所以b=2。
24.
25. 解析:
26.极大值为8极大值为8
27.
28.
29.对已知等式两端求导,得
30.e-2
31.12dx+4dy.
本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.
32.连续但不可导连续但不可导
33.y=0
34.e-1/2
35.本题考查的知识点为原函数的概念。
由于sinx为f(x)的原函数,因此f(x)=(sin x)=cosx。
36. 解析:
37.(0 1)
38.本题考查的知识点为极限运算。
所求极限的表达式为分式,其分母的极限不为零。
因此
39.00 解析:
40.sinx·siny=C
sinx·siny=C
本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点.
由cosxsinydx+sinxcosydy=0,知sinydsinx+sinxdsiny=-0,即d(sinx·siny)=0,两边积分得sinx·siny=C,这就是方程的通解.
41.
则
42.
列表:
说明
43. 函数的定义域为
注意
44.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
45.
46.
47.
48.
49.
50. 由一阶线性微分方程通解公式有
51.
52.由二重积分物理意义知
53.
54.
55.
56.
57.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
58.
59.由等价无穷小量的定义可知
60.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
61.本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序.
62.
63.
64.
65.
66.
67.设,则 f(x)=x3+3Ax. 将上式两端在[0,1]上积分,得 因此
本题考查的知识点为两个:定积分表示一个确定的数值;计算定积分.
由于定积分存在,因此它表示一个确定的数值,设,则
f(x)=x3+3Ax.
这是解题的关键!为了能求出A,可考虑将左端也转化为A的表达式,为此将上式两端在[0,1]上取定积分,可得
得出A的方程,可解出A,从而求得f(x).
本题是考生感到困难的题目,普遍感到无从下手,这是因为不会利用“定积分表示一个数值”的性质.
这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中.
68.
69.
70.
71.
72.