北京BISS国际学校高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
设全集U=R,A={x︱1≤x≤10, x∈N },B={︱x 2+ x-6=0, x∈R },则下图中阴影表示的集合为 ( )
(A){2} (B){3}
(C){-3,2} (D){-2,3}
参考答案:
答案:D
2. 已知函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是( )
参考答案:
C
3. (多选题)在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标来显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
A. 平均数
B. 平均数且标准差
C. 平均数且极差小于或等于2
D. 众数等于1且极差小于或等于4
参考答案:
CD
【分析】
通过举反例说明命题不符合条件,或通过平均数和标准差的统计意义,找出符合要求的选项.
【详解】解:A错,举反例:0,0,0,0,2,6,6,其平均数,不符合指标.
B错,举反例:0,3,3,3,3,3,6,其平均数,且标准差,不符合指标C对,若极差等于0或1,在的条件下,显然符合指标;若极差等于2且,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能:(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标D对,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标.
故选:.
【点睛】本题考查了数据的几个特征量,它们只表示数据的一个方面,一个或两个量不能说明这组数据的具体情况.
4. 不等式的解集是( )
A. B
C. D.
参考答案:
D
本题考查了一元二次不等式的解法,难度较小.
因为即为,解得,所以不等式
的解集是.
5. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知全集,集合,,则
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】集合的运算由得,由得,,,故选B.
7. 将一个圆的八个等分点分成相间的两组,连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星,如图所示.设正八角星的中心为O,并且 =, =,若将点O到正八角星16个顶点的向量,都写成为λ+μ,λ,μ∈R的形式,则λ+μ的最大值为( )
A. B.2 C.1+ D.2
参考答案:
C
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C,根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD,这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出,这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值.
【解答】解:如图,根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量,此时λ+μ最大;
作平行四边形OBCD,设BC=a,根据题意得,OA=;
∴;
∴;
∴=;
又;
∴;
即λ+μ的最大值为.
故选C.
8. 等比数列{an}的前n项和为Sn,且、、成等差数列,若,则( )
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
参考答案:
C
【分析】
设等比数列的公比为,根据题意得出关于的二次方程,求出的值,然后利用等比数列求和公式可求出的值.
【详解】设等比数列的公比为,由于、、成等差数列,且,
,即,即,解得,
因此,.
故选:C.
【点睛】本题考查等比数列求和,解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比,考查计算能力,属于基础题.
9. 已知等比数列满足,且,则当时, ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=,则x﹣x2≥0,由此求得函数的定义域,则f(x)=g(t)=,本题即求函数t的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.
【解答】解:令t=,则x﹣x2≥0,求得0≤x≤1,故函数的定义域为(0,1),
且f(x)=g(t)=,本题即求函数t的减区间.
再利用二次函数的性质,可t= 的减区间为[,1],
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中,直线与圆相交的弦长为____
参考答案:
12. 在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=3,若a1,a7,an成等比数列,则n= .
参考答案:
19
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列通项公式求出公差d=,由此根据a1,a7,an成等比数列,能求出n的值.
【解答】解:∵在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=3,
∴,
解得d=,
∴=,
∵a1,a7,an成等比数列,
∴,即()2=1×(),
解得n=19.
故答案为:19.
【点评】本题考查数列的项数n的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.
13. 在区间上随机取一个数,则的值介于0到的概率为 .
参考答案:
略
14. 执行右边的程序框图,输出的 ;
参考答案:
7
略
15. 已知向量=(2,1),=(x,﹣1),且﹣与共线,则x的值为 .
参考答案:
﹣2
考点: 平面向量的坐标运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 求出向量﹣,然后利用向量与共线,列出方程求解即可.
解答: 解:向量=(2,1),=(x,﹣1),
﹣=(2﹣x,2),
又﹣与共线,
可得2x=﹣2+x,
解得x=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评: 本题考查向量的共线以及向量的坐标运算,基本知识的考查.
16. 已知复数是纯虚数,那么实数a=_______.
参考答案:
-1
17. 已知f(x)是奇函数,且当时,.若,则a=__________.
参考答案:
–3
∵,
∴.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,边长为2的正方形ABCD中,点E、点F分别是AB、BC上的点,且BE=BF,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A1.
(Ⅰ)若点E是边AB的中点,求证:A1D⊥EF;
(Ⅱ)当时,求三棱锥A1﹣DEF的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)折叠前有AD⊥AE,CD⊥CF,折叠后有A1D⊥A1E,A1D⊥A1F,从而A1D⊥平面A1EF,由此能证明A1D⊥EF.
(Ⅱ)取EF的中点O,连接A1O,三棱锥A1﹣DEF的体积,由此能求出结果.
【解答】解::(Ⅰ)折叠前有AD⊥AE,CD⊥CF,
折叠后有A1D⊥A1E,A1D⊥A1F,
又A1E∩A1F=A1,∴A1D⊥平面A1EF,
∴A1D⊥EF.…
解:(Ⅱ)由正方形ABCD的边长为2,
折叠后A1D=2,,,
取EF的中点O,连接A1O,
则
∴,
∴.…
19. (20) (本小题满分14分)
设, 已知函数
(Ⅰ) 证明在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.
参考答案:
20. 已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线与抛物线分别相交于A、B两点。
(1)写出抛物线的方程;
(2)若,求直线的方程;
(3)若坐标原点O关于直线的对称点P在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆 的长轴长的最小值。
参考答案:
(1)由可知:,∴抛物线的方程: ……………2分
(2)设AB的方程:,代入得:,………3分
设,则有:且
∴, ………………………………………4分
又, …………5分
由上面三式可解得: …………………………………6分
∴直线的方程为: …………………………7分
(3)设,则的中点坐标:
由O与P关于直线:对称,
∴,即:,解得…………9分
又点在抛物线上,∴,10分
又由,
∴,
∴…11分
又,
代入上式可得: ………12分
∴椭圆的长轴长的最小值为: ………………13分
略
21. 已知椭圆过点两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.
参考答案:
(1)由题意得,,所以椭圆的方程为,
又,所以离心率...........5分
(2)设,则,
又,所以直线的方程为,
令,得,从而,
直线的方程为.令,得,从而,
所以四边形的面积:
从而四边形的面积为定值............ 12分
22. 已知函数(且)
(1)求f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(2)若,函数f(x)恰有两个不同的零点,求证:.
参考答案:
(1)当时,的最小值为;
当时,的最小值为
(2)答案见解析
【分析】
(1)求导研究函数单调性,分类讨论极值点与边界点2的大小关系,分,两种情况讨论即得解;
(2)转化为,其中,则
,证明即得证.
【详解】(1)定义域,
由时,;时,
若即时,在上单调递增,故在的最小值为;
当时,在上单调递减,在单递增,故在的最小值为
综上,当时,在上的最小值为;当时,在的最小值为
(2)当时,不妨设,,,得
,故
令,则,,
所以,故,
令,
而,所以在上单调递增
又,所以,而,故
【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了学生综合分析,转化划归,分类讨论,数学运算的能力,属于较难题.