吉林省长春市榆树第一中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=x f(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)b<a<c(D)b<c<a
参考答案:
C
因为f(x)是奇函数,且在R上是增函数,所以在x>0时,f(x) >0,从而g(x)=x f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,
a=g(-log25.1)=g(log25.1)
20.8<2,又4<5.1<8,则2<log25.1<3,所以即0<20.8<log25.1<3,
g(20.8) <g(log25.1) <g(3)
所以b<a<c.
2. 已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(ax+1)≤f(x﹣2)在上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣2,1] B.[﹣2,0] C.[﹣1,1] D.[﹣1,0]
参考答案:
B
【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.
【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反,根据已知中f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,易得f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,又由若时,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,结合函数恒成立的条件,求出时f(x﹣2)的最小值,从而可以构造一个关于a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.
【解答】解:∵f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,
当时,x﹣2∈[﹣,﹣1],
故f(x﹣2)≥f(﹣1)=f(1),
若时,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,
则当时,|ax+1|≤1恒成立,
∴﹣1≤ax+1≤1,∴≤a≤0,
∴﹣2≤a≤0,
故选B.
3. 已知集合M={x|x≥-1},N={x|2-x≥0},则M∪N=( )
A. [-1,+∞) B.[-1,]
C. [-,+∞) D.(-∞,-]∪[-1,+∞)
参考答案:
【知识点】集合的运算 A1
【答案解析】C 解析:,所以
,
故答案为:C
【思路点拨】解不等式,得集合N,再根据并集的定义求即可,必要时可借助数轴辅助运算。
4. 在棱长为1的正方体中,分别是线段上的动点,则线段的最小值为( )
A B C D
参考答案:
A
略
5. 已知向量,若,则实数的值为( )
A.-5 B. C. D.5
参考答案:
D
6. 一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为
(A) 96 (B) 136
(C) 152 (D) 192
参考答案:
C
略
7. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
参考答案:
C
正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,
正四棱柱的对角线长即球的直径为2,
∴球的半径为,球的表面积是24π,
8. 函数y=sin图象的对称轴方程可能是( ).
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
参考答案:
D
9. 若函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 ( )
A.0<a≤1 B.a≤1 C.a<1 D.0<a≤1或a<0
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为 .
参考答案:
1
试题分析:.
考点:1、向量的数量积运算;2、向量加法.
12. 己知i是虚数单位,则的虚部是 .
参考答案:
﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,则复数的虚部可求.
【解答】解: =,
∴的虚部是﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
13. (不等式选讲) 若的最小值为3, 则实数的值是________.
参考答案:
t=2或8
略
14. 已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α,则sinα= .
.
参考答案:
解:12条棱只有三个方向,故只要取如图中AA¢与平面AB¢D¢所成角即可.设AA¢=1,则A¢C=,A¢C⊥平面AB¢D¢,A¢C被平面AB¢D¢、BDC¢三等分.于是sinα=
15. 已知双曲线的一个焦点与抛线线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程的 .
参考答案:
16. 已知复数是纯虚数,则实数的值是_________.
参考答案:
17. 已知复数z满足(i为虚数单位),则 .
参考答案:
5
因为,所以,即,.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请总额不超过6000 元。某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24000 元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清。签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加5% 直到4000 元。该同学计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始,每月还款额比前一月多x 元。
(Ⅰ)若该同学恰好在第36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求x 的值;
(Ⅱ)当x = 50时,该同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费?
(参考数据: )
参考答案:
19. (已知函数,且,
(1)求的值;
(2)若,,求.
参考答案:
20. (12分)已知方程
(1)若此方程表示圆,求的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点)求的值;
(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程。
参考答案:
解析:(1)
D=-2,E=-4,F=
=20-
………………………………………………………………4分
(2) 代入得
………….………………………………6分
, …………………………………7分
∵OMON
得出:
∴
∴ ………… ………………………………………………………8分
(3)设圆心为
半径
圆的方程 ………………………………12分
21. 如图, 是正方形,平面,,.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ) 求面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明: 因为平面,
所以. ……………………1分
因为是正方形,
所以,
所以平面, …………………3分
从而 ……………………4分
(Ⅱ)解:因为两两垂直,
所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分
设,可知. ……………………6分
则 ,,,,,,
所以,, ………………7分
设平面的法向量为,则,即,
令,则. …………………10分
因为平面,所以为平面的法向量, ,
所以 …………………………12分
所以面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值为. …………13分
22. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的个数是( )
(1)AC⊥BE.
(2)若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.
(3)三棱锥A﹣BEF的体积为定值.
(4)在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
(5)过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条.
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
A
考点:命题的真假判断与应用;棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;点、线、面间的距离计算.
专题:空间位置关系与距离.
分析:根据题意,依次分析:如图可知BE?平面BB1D1D,AC⊥BE,进而判断出(1)正确;
根据AA1∥BB1,判断出AA1∥平面BB1DD1,即AA1∥平面BEF,计算出A1到平面BEF的距离,即可判断出(2)项;
设AC,BD交于点O,AO⊥平面BB1D1D,可分别求得S△BEF和AO,则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断(3)项正确;
再利用正方体中线线,线面的位置关系,即可判定(4)和(5)项正确.
解答: 解:对于(1),∵AC⊥平面BB1D1D,又BE?平面BB1D1D,∴AC⊥BE.故(1)正确.
对于(2),∵AA1∥BB1,AA1?平面BB1DD1,BB1?平面BB1DD1,
∴AA1∥平面BB1DD1,即AA1∥平面BEF,
又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,
A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离,
∴若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为,故(2)正确;
对于(3),∵S△BEF==,
设AC,BD交于点O,AO⊥平面BB1D1D,AO=,
∴VA﹣BEF==,故(3)正确;
对于(4)在正方体中,AA1∥DD1,AD∥B1C1,
则AC,AA1,AD相交于A点,故空间中与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
故(4)正确;
对于(5)由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条.
并且这两条直线与平面BEF所成角为50°,故(5)正确;
故答案为:A.
点评:本题考查直线与平面平行的判定,考查线面垂直,考查线面角、线线角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.