四川省内江市乐只中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若  =,  =, 其中, 则一定有 (    )   (A)   ^       (B) 与共线       (C) 与的夹角为  (D) |  | = |  | 参考答案： 答案：A 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C．D． 参考答案： A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案． 【解答】解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体， 其底面面积S=×1×1=， 柱体的高为：2，锥体的高为1， 故组合体的体积V=×2﹣××1=， 故选：A． 3. 已知要得到函数的图像，只需将函数的图像 （   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 略 4. 若,则下列不等式成立的是(    ) A．         B．         C．      D． 参考答案： D 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题. 6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a＝，c＝2，A＋C＝，则b＝ A．           B．6          C．7            D．8 参考答案： C 7. 已知幂函数的图象经过点，则的值为(　 　) A．           B． C． D．  参考答案： B 8. 已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为      （     ） A. [3,4] B. C. [1,9] D. 参考答案： C 【分析】 由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解. 【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点. ，则有. . 设，则. . 由，得. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题. 9. 设函数，则（  ） A．在区间内均有零点 B．在区间内均无零点 C．在区间内有零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有零点 参考答案： D 略 10. .函数的部分图象如图所示，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 试题分析：根据图像得到： ，将点代入得到，，． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知： =（﹣3，1），=（0，5），且∥，⊥，则点C的坐标为　　． 参考答案： 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】设C（x，y），则=（x+3，y﹣1），=（x，y﹣5），=（3，4），由∥，⊥，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：设C（x，y），则=（x+3，y﹣1），=（x，y﹣5），=（3，4）， ∵∥，⊥，∴5（x+3）=0， =3x+4（y﹣5）=0， 解得x=﹣3，y=． 则点C的坐标：． 故答案为：． 12. 已知函数，则  . 参考答案： -2  13. 已知，，则的最大值是______. 参考答案： 【分析】 将化简、变形为，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解. 【详解】由题意， ， 设，则，当且仅当，即取等号， 又由在上单调递增， 所以的最小值为，即， 所以， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 14. 已知，则的取值范围是                ． 参考答案： 15.  如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为．则关于的函数解析式及定义域为           ． 参考答案： ， 16. 已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是　   ． 参考答案： 5 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得：A（3，1）， 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z， 由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5． 故答案为：5． 17. 已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列． （1）当0＜x≤1时，f（x）=         ． （2）若该数列的前n项的和为Sn，则S10=         ． 参考答案： （1）2x﹣2．（2）S10=45．   考点：数列的求和；函数零点的判定定理． 专题：等差数列与等比数列． 分析：函数y=f（x）与y=x﹣1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序为0，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）﹣x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式． 解答： 解：当x≤0时，g（x）=f（x）﹣x+1=x，故a1=0 当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1≤0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣1+1=2x﹣2，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣1，故a2=1； 当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣2+1=2x﹣3，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣2，故a3=2； 当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣3+1=2x﹣4，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣3，故a4=3； … 以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=n+1． 故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列． 故S10==45 故答案分别为：2x﹣2，45． 点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、函数图象的交点、“分类讨论”方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1，a2，a3} （1）对任意i≠j，求满足|ai﹣aj|≥2的概率； （2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）先求出M有9个元素，抽取3个元素的种数，在分类求出|ai﹣aj|≥2的种数，根据概率公式计算即可． （2）结合变量对应的事件和等差数列，写出变量的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）M有9个元素，抽取3个元素，有=84种， 对任意的i≠j，i，j∈{1 2 3} 满足|ai﹣aj|≥2的取法： ①最小取1的： =15种， ②最小取2的： =10种， ③最小取3的： =6种， ④最小取4的： =3种， ⑤最小取5的： =1种， 故共有15+10+6+3+1=35种， 故满足|ai﹣aj|≥2的概率为； （2）∵若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），则ξ=1，2，3，4， ξ=1即三个连续的数，有7种，ξ=2即三个连续的奇数或偶数，有5种，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3种，ξ=4只有1种（1，5，9）， 故成等差数列的一共有7+5+3+1=16． 则P（ξ=1）=，则P（ξ=2）=，则P（ξ=3）=，P（ξ=4）=， 分布列为： ξ 1 2 3 4 P 故E（（ξ）=1×+2×+3×+4×=． 19. （本小题满分14分） 已知函数（是自然对数的底数）. （I）若函数在点处的切线方程为，求函数的单调区间； （II）当时，若对于任意都有恒成立，求实数m的最小值； （III）当时，设函数，是否存在实数，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案： (I)由题意得， 20. 已知函数，在时有极大值3. （1）求a、b的值； （2）求函数f(x)在[－1,3]上的最值. 参考答案： （1），；（2）最大值，最小值. 【分析】 （1）求出函数的导数，由题意得出，列出、的方程组，可解出实数、的值； （2）由（1）得出，利用导数求出函数在区间上的极值，并与端点函数值比较大小，可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1），， 由题意得，解得； （2）由（1）知，则. 令，得或，列表如下：     ↘ 极小值0 ↗ 极大值3 ↘   因此，函数在区间上的最大值，最小值. 【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 21. (本小题满分12分） 已知一个动圆与两个定圆和均相切,其圆心的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程； (2) 过点F（)做两条可相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C交于A,B两点, l2与曲线 C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线交于M，N两点。求证|MF|:|NF|为定值. 参考答案： （1）设动圆圆心为，半径为 ∵两个定圆为和 ∴其圆心分别为，，半径分别为， ∵ ∴两个定圆相内含 ∵动圆与两个圆均相切 ∴， ∴ ∴动点的轨迹为以，为焦点，以4为长轴长的椭圆 ∴曲线的方程为 （2）当，平行于坐标轴时，可知 当，不平行于坐标轴时，设， 将的方程代入曲线的方程中消去化简得： ∴， 同理可得， 由直线中令可得① ∵与曲线交于，两点，与曲线交于，两点 ∴，代入①式化简得 ∴ 同理可得 ∵ ∴ 综上所述，   22. 已知等差数列满足：，，的前n项和为． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=()，求数列的前n项和． 参考答案： （Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==， 即数列的前n项和=。 略