四川省南充市楠木乡中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
当时,,恒成立,当时,由得,,所以是成立的充分不必要条件,选A.
2. 已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.
3. 已知是定义在R上的偶函数,且恒成立,当时,,则当时,函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4.
不等式的解集是 ( )
A. B. (2,)
C. D.
参考答案:
答案:A
5. 若实数x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值等于( )
A.0 B. C.12 D.27
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,
联立,解得:A(3,3),
化目标函数z=x+3y为y=﹣+,
由图可知,当直线y=﹣+过A时,直线在y轴上的截距最大,z最大.
此时z=3+3×3=12.
故选:C.
6. 已知下列四个命题:
,使得; ,都有;
,都有; ,使得;
A., B. , C. , D. ,
参考答案:
A
略
7. 已知函数的图像关于直线对称,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. )已知为第二象限角,且,则的值是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D.
因为为第二象限角,所以所以
10. 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,则f(2)+g(2)=( )
A.16 B.﹣16 C.8 D.﹣8
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】直接利用奇、偶函数的性质列出方程,然后求解即可.
【解答】解:∵f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2x2,
∴f(﹣2)﹣g(﹣2)=(﹣2)3﹣2×(﹣2)2=﹣16.
即f(2)+g(2)=f(﹣2)﹣g(﹣2)=﹣16.
故选:B.
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法,考查计算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知,当取最小值时,实数的值是 ▲ .
参考答案:
试题分析:,当且仅当,即时取等号
考点:基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
13. 已知幂函数y=xa的图象过点(3,9),则的展开式中x的系数为 .
参考答案:
112
【考点】二项式系数的性质;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】直接利用幂函数求出a的值,然后求出二项式展开式中所求项的系数.
【解答】解:幂函数y=xa的图象过点(3,9),
∴3a=9,
∴a=2,
∴=(﹣)8的通项为Tr+1=(﹣1)rC8r28﹣rx,
令r﹣8=1,
解得r=6,
展开式中x的系数为(﹣1)6C8628﹣6=112,
故答案为:112.
【点评】本题考查二项式定理的应用,幂函数的应用,考查计算能力.
14. 函数的最大值等于 。
参考答案:
15. 已知幂函数在(0,+∞)是增函数,则实数m的值是 .
参考答案:
1
∵幂函数在是增函数
∴,解得:
故答案为:1
16. 若,满足约束条件,设的最大值点为,则经过点和的直线方程为_______________.
参考答案:
在直角坐标系中,满足不等式组可行域为:
表示点到可行域的点的距离的平方减4.如图所示,点到点的距离最大,即,则经过,两点直线方程为.
17. 若函数 f(x)=
①当a=2时,若f(x)=1,则x= ;
②若f(x)的值域为[0,2],则a的取值范围是 .
参考答案:
0,
【考点】分段函数的应用.
【分析】函数y=2﹣x (﹣1≤x<1)的值域为(,2],函数y=lnx (1≤x≤a)的值域为:[0,lna],
①即2﹣x =1,②≤lna≤2即可.
【解答】解:函数y=2﹣x (﹣1≤x<1)的值域为(,2],函数y=lnx (1≤x≤a)的值域为:[0,lna]
①当a=2时,若f(x)=1,即2﹣x =1,则x=0
②若f(x)的值域为[0,2],≤lna≤2,则a的取值范围是.
故答案为:0,.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是.
(1)求的值; (2)解不等式.
参考答案:
解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数
()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值.
因为,当且仅当时等号成立,
即时,成立,也就是的最小值是2.
(2) . 解法1:利用绝对值的意义得:
解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得,
所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是.
解法3:构造函数作
的图象,利用图象有得: .
略
19. 已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)曲线,是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)根据同角三角函数关系消去参数θ,即可求出曲线C1的普通方程,曲线C2的极坐标方程两边同乘ρ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程;(2)先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较,设相交弦长为d,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段C1C2,建立等量关系,解之即可.
试题解析:解:(1)由得
∴曲线的普通方程为
∵ ∴
∵∴,即
∴曲线的直角坐标方程为 5分
(2)∵圆的圆心为,圆的圆心为
∴
∴两圆相交
设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段
∴
∴ 10分.
考点:1.圆的参数方程;2.简单曲线的极坐标方程.
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足(N------*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:.
参考答案:
(Ⅰ)当时.
当时,,两式相减得:.
故是以3为公比的等比数列,且,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,
由错位相减法
(1)
(2)
两式相减得:,
求得:.
所以.
21. 已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)>0;
当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;(2)c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立?
参考答案:
略
22. 如图所示,在三棱锥中,平面,分别为线段上的点,且.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离.
参考答案:
(1)证明:由平面,平面,故
由,得为等腰直角三角形,
故,
又,
故平面.
(2)由(1)知,为等腰直角三角形,,
过作垂直于,易知,
又平面,所以,,
设点到平面的距离为,即为三棱锥的高,
由得,
即,所以,
所以到平面的距离为.