四川省德阳市广汉广兴镇中学2022年高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义在上的函数f(x),其导函数为f′(x),且恒有f(x)<f′(x)·tanx成立, 则
参考答案:
B
略
2. 在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,M是PF1的中点,且,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
参考答案:
B
∵是的中点,是的中点,
∴∥,
又,
∴,故为直角三角形.
由双曲线的定义可得,
∴,
在中,可得,
即,
整理得,
∴.选B.
3. 已知双曲线的左、右焦点分别是,正三角形的一边与双曲线左支交于点,且,则双曲线的离心率的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9=( )
A. 81 B. 27 C. D. 243
参考答案:
答案:A
解析:因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=
(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81,故选A
5. 已知全集,集合,,则(?IA)∪B为( )
A.{1,3} B.{3} C.{1,3,4} D.{3,4}
参考答案:
C
略
6. 若是实数(是虚数单位,是实数),则
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知是椭圆,上除顶点外的一点,是椭圆的左焦点,若 则点到该椭圆左焦点的距离为
A. B. C . D.
参考答案:
C
8. 已知平面,若直线,则∥是的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
9. 复数等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 给出下面几种说法:
①两个非零向量=(,),=(,),若∥,则;
②函数的零点所在的大致区间是(2,3);
③已知命题:,,则:,;
④函数的最小值为4。
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
①错误,应为若∥,则;
因为,,所以的零点所在的大致区间是(2,3),②正确;
③正确;④错误,显然时不成立。故选B。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. = 。
参考答案:
e
略
12. 已知函数值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是 .
参考答案:
试题分析:设,由已知条件可知可取到上的所有值,当时满足题意,当时需满足,解不等式得或,所以实数的取值范围是
考点:函数性质
13. 等差数列的前9项和等于前4项和,若,则__________.
参考答案:
10
略
14. 若双曲线的焦距等于6,则m= .
参考答案:
3
由双曲线的方程知,所以 ,故填3.
15. 如图,在四棱锥中, 为上一点,
平面.,,,,
为上一点,且.
(Ⅰ) 求证:;
(Ⅱ)若二面角为,
求的值.
参考答案:
(Ⅰ) 证明:连接AC交BE于点M,
连接.由
6分
(Ⅱ)连,过作于.由于,故.
过作于,连.则,即为二面角
的平面角. 10分
, 12分
15分
解法二:以为坐标原点,为轴建立空间直角坐标系.
, 8分
设平面的法向量,由
得
面法向量为. 10分
由于 , 解得. 12分
15分
略
16. 设变量,满足则变量的最小值为 .
参考答案:
略
17. 如图是一个算法的流程图,则输出的值是 .
参考答案:
由题意
,,,
,,,
,,…, , , ;以上共503行,输出的
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数
(I)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(II)若对任意恒成立,求正整数的值.
参考答案:
19. (本小题满分15分)已知中心在原点的椭圆的焦点为为椭圆C上一点,。
(1)求椭圆C的方程。
(2)是否存在平行于使得直线为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线。
参考答案:
(1)因为椭圆C的焦点为,则椭圆C的方程为。
(2)假设存在符合题意的直线两点,设直线方程为.因为直线A,B两点,
所以。
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点,所以。
又
。
20. 已知椭圆()的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交于点A,B两点,且
(Ⅰ求椭圆的离心率
(Ⅱ)直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上,求的值。
参考答案:
解析: (1)由,得,从而
,整理得,故离心率
(2)由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
由已知设则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得
依题意,
而,有题设知,点B为线段AE的中点,所以
联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得
(3)由(2)知,,当时,得A由已知得
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线的方程为,于是点满足方程组由,解得,故
当时,同理可得
21. (12分)已知,函数
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
参考答案:
解:(1)当a=2时,,则方程f(x)=x即为
解方程得: 4分
(2)(I)当a>0时,,
作出其草图见右, 易知有两个极值点借助于图像可知
当时,函数在区间[1,2]上为增函数,此时
当时,显然此时函数的最小值为
当时,,此时在区间为增函数,在区间上为减函数,∴,又可得
∴ 12分
则当时,,此时
当时,,此时
当时,,此时在区间为增函数,故
(II)当时,,此时在区间也为增函数,故
(III)当时,显然函数在区间为增函数,故
22. 设函数,且以为最小正周期.
(I) 求; (Ⅱ)求的解析式;
(III)已知,求的值.
参考答案:
解: (I) (Ⅱ) (III)