四川省资阳市简阳高级职业中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若变量满足约束条件,则的取值范围是
A.[3,+∞) B.[-8,3] C.(-∞,9] D.[-8,9]
参考答案:
D
2.
A..2 B.-2 C.6 D.-6
参考答案:
B
略
3. 已知函数,则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( )
A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的图象与图象变化.
【专题】转化思想.
【分析】先利用函数的奇偶性求出f(2)=f(6),f(3)=f(5),再利用单调性判断函数值的大小.
【解答】解:∵y=f(x+4)为偶函数,∴f(﹣x+4)=f(x+4)
令x=2,得f(2)=f(﹣2+4)=f(2+4)=f(6),
同理,f(3)=f(5),又知f(x)在(4,+∞)上为减函数,
∵5<6,∴f(5)>f(6);∴f(2)<f(3);f(2)=f(6)<f(5)
f(3)=f(5)>f(6).
故选D
【点评】此题主要考查偶函数的图象性质:关于y轴对称及函数的图象中平移变换.
5. O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若,则△ABC是( )
A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形
参考答案:
B
【考点】三角形的形状判断.
【分析】设BC的中点为 D,由条件可得?2=0,故⊥,故△ABC的BC边上的中线也是高线,△ABC是以BC为底边的等腰三角形.
【解答】解:设BC的中点为 D,∵,∴?(2﹣2)=0,
∴?2=0,∴⊥,故△ABC的BC边上的中线也是高线.
故△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
故选 B.
6. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲乙2机必须相邻着舰,而丙丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )种
A.12 B.18 C.24 D.48
参考答案:
C
7. 设,“”是“复数为纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
参考答案:
B
考点:充分必要条件.
8. 化简( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 【知识点】二倍角公式;诱导公式;辅助角公式.C2 C6
原式=,故选C.
【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。
9. 已知与夹角θ=120°,则向量在向量上的投影为( )
A.﹣2 B.2 C. D.
参考答案:
A
【考点】向量的投影;平面向量数量积的含义与物理意义.
【分析】根据投影的定义,应用公式||cos<,>=求解.
【解答】解:,
上的投影为,
故选A.
10. 已知为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式的展开式中的常数项式
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列,,,则
参考答案:
1
12. 不等式选做题)若存在实数使成立,则实数的取值范围是 ;
参考答案:
13. 已知等差数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和,若a2,a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根,则S6的值为 .
参考答案:
24
考点:等差数列的性质.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由一元二次方程的根与系数关系求得a2,a4,进一步求出公差和首项,则答案可求.
解答: 解:由a2,a4是方程x2﹣6x+5=0的两个根,得
,由已知得a4>a2,∴解得a2=1,a4=5,
∴d=,
则a1=a2﹣d=1﹣2=﹣1,
∴.
故答案为:24.
点评:本题考查了一元二次方程的根与系数关系,考查了等差数列的通项公式和前n项和,是基础的计算题.
14. 如图程序是求一个函数的函数值的程序,若执行此程序的结果为3,则输入的x值为
参考答案:
4或﹣3
【考点】程序框图.
【专题】计算题;分类讨论;试验法;算法和程序框图.
【分析】根据程序语言的运行过程,得程序运行后输出的函数y=;
令y=3,求出对应x的值.
【解答】解:根据程序语言的运行过程,得
该程序运行后输出的是函数y=;
又输出y=3,
所以,当x≤0时,y=﹣x=3,解得x=﹣3,满足题意;
当0<≤1时,y=0,不满足题意;
当x>1时,y=x﹣1=3,解得x=4,满足题意;
综上,x的值是4或﹣3.
故答案为:4或﹣3
【点评】本题利用程序语言考查了分段函数求值的应用问题,是基础题目.
15. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合]A、B、C,其
中,,,若A、B、C中的元素满足条件:,,1,2,…,,则称为“完并集合”.
(1)若为“完并集合”,则的取值集合为 .
(2)对于“完并集合”,在所有符合条件的集合中,其元素乘积最小的集合是 .
参考答案:
①,②
16. 定义运算,若函数在上单调递减,则实数的取值范围是
参考答案:
17. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且。
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,求证:。
参考答案:
(1)由
……4’
(2)数列为等差数列,公差
从而
从而
………………12’
19. (12分)某中学刚搬迁到新校区,学校考虑,若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟,则学校推迟5分钟上课.为此,校方随机抽取100个非住校生,调查其上学路上单程所需时间(单位:分钟),根据所得数据绘制成如下频率分布直方图,其中时间分组为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50].
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课;
(Ⅲ)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中,随机抽取2人,求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率.
参考答案:
【考点】: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【专题】: 概率与统计.
【分析】: (Ⅰ)根据频率分布直方图矩形面积之和为1,可求出直方图中的a的值;
(Ⅱ)先求出上学所需时间的平均值,再与20比较即可得到答案;
(Ⅲ)根据分层抽样确定[30,40)和[40,50)抽取的人数,列举任意抽取两人的基本事件,找出恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上事件包含的基本事件,利用概率公式计算即可.
解:(Ⅰ)时间分组为[0,10)的频率为
1﹣10(0.06+0.02+0,003+0.002)=0.15,
∴a==0.015,
所以所求的频率直方图中a的值为0.015.
(Ⅱ)100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数:
=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7,
因为16.7<20,
所以该校不需要推迟5分钟上课.
(Ⅲ)依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人,不妨设为a,b,c,
单程所需时间在[40,50)中的有2人,不妨设为A,B,
从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中,随机抽取2人共有以下10种情况:
(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B)其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种:
(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),
故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率P==.
【点评】: 本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.
20. (本小题满分12分)
已知函数
(1)当时,求证:对任意的,且,有;
(2)若时,恒成立,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)令,
因为,所以在上递增,-------------------3分
所以,即------------------------------------------------5分
(2)当时
所以,在上递增,所以满足条件---------------------------8分
当时,令,
,令,则在上递减,
所以,不合题意。---------------------------------------------11分
综上------------------------------------------------------------------------12分
略
21. (12分)已知二次函数满足和.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最大值和最小值.
参考答案:
解析:(1);(2),.
22. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.
(I)求乙得分的分布列和数学期望;
(II)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.
参考答案: