安徽省阜阳市王楼中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(﹣)的值为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣ D.
参考答案:
A
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】结合函数的图象,由函数的最值求出A,由周期求出ω.由五点法作图的顺序求出φ的值,从而求得f(x)的解析式,进而求得f(﹣)的值.
【解答】解:由函数的图象可得A=2,
T=﹣(﹣)=π,
∴ω==2,
又∵(,0)在函数图象上,可得:2sin(2×+φ)=0,
∴由五点法作图可得:2×+φ=π,解得:φ=,
∴函数解析式为:f(x)=2sin(2x+),
∴f(﹣)=2sin[2×(﹣)+]=﹣2sin=﹣1.
故选:A.
2. 关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:
①若m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n;
④若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n;
其中真命题的序号是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
参考答案:
D
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理,对四个结论逐一进行分析,易得到答案.
【解答】解:若m∥α,n∥β且α∥β,则m,n可能平行也可能异面,也可以相交,故①错误;
若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m,n一定垂直,故②正确;
若m⊥α,n∥β且α∥β,则m,n一定垂直,故③正确;
若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m,n可能相交、平行也可能异面,故④错误
故选D.
3. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为( )
A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?
参考答案:
A
4. 关于幂函数的叙述正确的是( )
A.在(0,+∞)上是增函数且是奇函数 B.在(0,+∞)上是增函数且是非奇非偶函数
C.在(0,+∞)上是增函数且是偶函数 D.在(0,+∞)上是减函数且是非奇非偶函数
参考答案:
B
5. 在数学史上,一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550-1617年)。在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算,他多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了对数。在那个时代,计算多位数之间的乘积,还是十分复杂的运算,因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子:
1
2
3
4
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2
4
8
16
32
64
128
256
…
16384
32768
…
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示2的指数,第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积,可以通过第一行对应数字的和来实现。 比如,计算64×256的值,就可以先查第一行的对应数字:64对应6,256对应8,然后再把第一行中的对应数字加和起来:6+8=14;第一行中的14,对应第二行中的16384,所以有:64×256=16384。
按照这样的方法计算:16384×32768=( )
A.134217728 B.268435356 C.536870912 D.513765802
参考答案:
C
6. 角的终边过点(-3,4) 则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. (5分)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
参考答案:
B
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: 根据圆心C到O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,可得m≤6,从而得到答案.
解答: 圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,
∵圆心C到O(0,0)的距离为5,
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.
再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,
可得PO=AB=m,故有m≤6,
故选:B.
点评: 本题主要直线和圆的位置关系,求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6,是解题的关键,属于中档题.
8. 已知变量满足约束条件,则的最小值为
A. -6 B. -5 C. 1 D. 3
参考答案:
B
9. 函数y=tan()在一个周期内的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】HC:正切函数的图象.
【分析】先令tan()=0求得函数的图象的中心,排除C,D;再根据函数y=tan()的最小正周期为2π,排除B.
【解答】解:令tan()=0,解得x=kπ+,可知函数y=tan()与x轴的一个交点不是,排除C,D
∵y=tan()的周期T==2π,故排除B
故选A
10. 正三棱锥的底边长和高都是2,则此正三棱锥的斜高长度为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对幂函数有以下结论
(1)f(x)的定义域是;
(2)f(x)的值域是(0,+∞);
(3)f(x)的图象只在第一象限;
(4)f(x)在(0,+∞)上递减;
(5)f(x)是奇函数.
则所有正确结论的序号是______.
参考答案:
(2)(3)(4)
【分析】
利用幂函数的性质,逐项判断,即可得出结论.
【详解】解:对幂函数,以下结论
(1)的定义域是,因此不正确;
(2)的值域是,正确;
(3)的图象只在第一象限,正确;
(4)在上递减,正确;
(5)是非奇非偶函数,因此不正确.
则所有正确结论的序号是(2)(3)(4).
故答案为:(2)(3)(4).
【点睛】本题考查了幂函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
12. 过点(1,3)且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是 .
参考答案:
x+2y﹣7=0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】计算题;规律型;方程思想;直线与圆.
【分析】求出直线的斜率,然后求解直线方程.
【解答】解:与直线x+2y﹣1=0平行的直线的斜率为:,
由点斜式方程可得:y﹣3=﹣(x﹣1),化简可得x+2y﹣7=0.
故答案为:x+2y﹣7=0.
【点评】本题考查直线方程的求法,考查计算能力.
13. 若,是异面直线,直线∥,则与的位置关系是 .
参考答案:
异面或相交
14. f(x)的图象如图,则f(x)的值域为 .
参考答案:
[﹣4,3]
【考点】函数的图象;函数的值域.
【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】从图象上看,f(x)的值域是函数的图象在竖直方向上的范围;从而直接写出即可.
【解答】解:从图象上看,
f(x)的值域是函数的图象在竖直方向上的范围;
从图象可知,其值域为[﹣4,3];
故答案为:[﹣4,3].
【点评】本题考查了数形结合的思想应用.
15. 集合若则 ,的子集有 个。
参考答案:
,8
16. 若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是
(写出所有正确命题的编号)。 ①; ②; ③; ④
参考答案:
①③④
略
17. 在中,的对边分别是,且是的等差中项,则角 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (18)(本小题满分12分) 求过点A(3,4)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程
参考答案:
解:设所求方程为y-4=k(x-3)
即kx-y+4-3k=0
由=1得k=
所以切线方程为4x-3y=0
当过A(3,4)向圆可作两条切线,另一条为x=3
所求切线方程为4x-3y=0或x=3
略
19. 已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,且AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(1)证明:CM⊥SN;
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
参考答案:
(1) 设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0).
所以=(1,-1,),
=(-,-,0).
因为·=-++0=0,
所以CM⊥SN.
(2)=(-,1,0),
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则
即令x=2,得a=(2,1,-2).
因为|cos〈a,〉|===,
所以SN与平面CMN所成的角为45°.
20. 已知函数,x∈R .求:(1)函数f(x)的最值及此时自变量x的取值 (2)求函数f(x)的单调增区间和减区间. (3) 求函数f(x)的对称轴方程和对称中心。
参考答案:
略
21. (本题满分12分)
已知函数(其中)的相邻两条对称轴之间的最小距离为,且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围。
参考答案:
解:(Ⅰ)由最低点为 由
由点在图像上得即
所以故,又,所以
所以 4分
令
解得 6分
所以的单调递增区间为
(Ⅱ)因为,所以
所以当时,即时,取得最小值;
当,即时,取得最大值2;
所以 8分
由不等式恒成立,可得
当即时,可得恒成立。符合题意
当即时,可得,只需,解得或
所以符合题意
当即时,可得,只需,解得
所以符合题意
综上可得,,即实数m的取值范围为
22. 已知集合,集合,若,求实数的取值范围.
参考答案:
解1:因为,所以方程有负根;……………………1分
设方程的根为
1) 恰有一个负根:或,………………………3分
解得:………………………5分
即………………………6分
2) 恰有2个负根:………………………7分
解得:………………………8分
即………………………9分
所以的取值范围是………………………10分
解2:因为有负根,所以有解,
设,
令,换元得
所以