山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】把已知等式化弦为切,求出tanα,然后展开两角和的正切得答案.
【解答】解:∵,
∴,解得tanα=﹣5,
∴=.
故选:D.
3. 已知点是椭圆上一点,且在轴上方,、分别是椭圆的左、右焦点,直线的斜率为,则的面积是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
4. 对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下表:
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+,据此模型来预测当x=20时,y的估计值为( )
A.
210
B.
210.5
C.
211.5
D.
212.5
参考答案:
C
略
5. 函数在一个周期内的图象如右图,此函数的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
6. 函数y=log2sinx在x∈时的值域为( )
A.[-1,0] B. C.[0,1) D.[0,1]
参考答案:
B
7. 设函数的最大值为,最小值为,则的值为
、 、 、 、
参考答案:
A
由已知,
令,易知为奇函数,由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为,
,=,故选.
8. 函数部分图象如图所示,且,对不同的,若,有,则( )
A.f(x)在上是减函数
B. f(x)在上是增函数
C. f(x)在上是减函数
D. f(x)在上增函数
参考答案:
B
9. 设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、,
且 ,, 则的取值范围为 ………( ).
. . . .
参考答案:
A
10. 直线和直线垂直,则实数的值为( )
A.1 B.0 C.2 D.-1或0
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数对任意的,恒有.若对满足题设条件的任意b,c,不等式恒成立,则M的最小值为____.
参考答案:
略
12. 在△ABC中,AB=4,AC=6,且,则BC= .
参考答案:
7
13. =_______________________.
参考答案:
【知识点】定积分.B13
【答案解析】 解析:(+2x)dx=[ln(x+1)+x2]=1+ln2;
故答案为:1+ln2.
【思路点拨】找出被积函数的原函数,然后代入上下限计算.
14. 下列有关命题的说法正确的是__________.
A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”.
B.“” 是“”的必要不充分条件.
C.命题“若,则”的逆否命题为真命题.
D.命题“使得”的否定是:“ 均有”
参考答案:
C
略
15. 已知点A,B,C,D均在球O的球面上,AB=BC=1,AC=,若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是,则球O的表面积为 .
参考答案:
π
考点: 球内接多面体.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 确定∠ABC=120°,S△ABC=,利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为,可得D到平面ABC的最大距离,再利用射影定理,即可求出球的半径,即可求出球O的表面积.
解答: 解:设△ABC的外接圆的半径为r,则
∵AB=BC=1,AC=,∴∠ABC=120°,S△ABC=,
∴2r==2
∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为,
∴D到平面ABC的最大距离为,
设球的半径为R,则12=×(2R﹣),
∴R=,
∴球O的表面积为4πR2=π.
故答案为:π.
点评: 本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定D到平面ABC的最大距离是关键.
16. 已知命题“函数定义域为R”是假命题,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
或
略
17. 已知双曲线的一个焦点为,且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为 .
参考答案:
﹣=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上,且c=2,可以设其标准方程为:﹣=1,结合题意可得2+b2=20,①以及=,②,联立两个式解可得a2=16,b2=4,代入所设的标准方程中即可得答案.
【解答】解:根据题意,要求双曲线的一个焦点为,则其焦点在x轴上,且c=2,
可以设其标准方程为:﹣=1,
又由c=2,则a2+b2=20,①
其渐近线方程为y=±x,则有=,②
联立①、②可得:a2=16,b2=4,
故要求双曲线的方程为:﹣=1;
故答案为:﹣=1.
【点评】本题考查双曲线的标准方程的计算,可以用待定系数法分析.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx
(Ⅰ) 若f(x)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 求证:对任意的(e为自然对数的底数.e≈2.71828)
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)运用参数分离可得,令,求出导数,求得单调区间和极值、最值,即可得到a的范围;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=1时,lnx≤x﹣1,则ln(1+x)≤x(当x=0时等号成立),令,得,再令i=1,2,…n,并累乘,即可得证.
【解答】解:(Ⅰ)因为函数定义域为(0,+∞),
所以ax﹣1﹣lnx≥0即,
令,由得x=1,
x
(0,1)
(1,+∞)
g'(x)
+
﹣
g(x)
↑
↓
因此g(x)max=g(1)=1,所以a≥1;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知a=1时,ax﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,
则ln(1+x)≤x(当x=0时等号成立),
令,得,
即,
取i=1,2,…n,并累乘得,
所以(n+1)n<n!en,即.
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和运用导数求得最值,同时考查不等式的证明,注意运用构造函数和累乘法,属于中档题.
19. (本小题满分10分)
已知函数
(Ⅰ)将写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
(Ⅱ)如果△ABC的三边,,满足,且边所对的角为,试求角的范围及函数的值域.
参考答案:
解:(Ⅰ)
若为其图象对称中心的横坐标,即
所以 解得:
即对称中心的横坐标为. …5分
(Ⅱ)
即,而,所以.
所以函数的值域为. …10分
略
20.
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为1,高为h(h>3),点M在侧棱BB1上移动,到底面ABC的距离为x,
且AM与侧面BCC1所成的角为α;
(Ⅰ)若α在区间上变化,求x的变化范围;
(Ⅱ)若所成的角.
参考答案:
解析:(I)设BC的中点为D,连结AD、DM,在正△ABC中,易知AD⊥BC,又侧面BCC1与底面ABC互相垂直,∴AD⊥平面BCC1,即∠AMD为AM与侧面BCC1所成的角,∴∠AMD=α,
∴在Rt△ADM中,cosAMD= 依题意BM即为点B到度面ABC的距离,
∴BM=x,且,
由已知
即x的变化范围是;
(II)
21. 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an﹣2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和Tn,若对n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)当n=1时,a1=S1,解得a1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,再利用等比数列的通项公式即可得出.
(2)利用对数的运算性质可得bn,利用cn==.利用“裂项求和”即可得出:数列{cn}的前n项和Tn=.由于对n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,可得,化为=,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1﹣2,解得a1=2.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1,
化为an=2an﹣1,
∴数列{an}是以2为公比的等比数列,
∴.
(2)∵bn=log2an==n,
∴cn==.
∴数列{cn}的前n项和Tn=+…+==.
∵对n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,
∴,化为=.
∵n++5=9,当且仅当n=2时取等号.
∴,
∴.
∴实数k的取值范围是.
22. 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,,,D、E分别为线段AB、BC上的点,且,.
(Ⅰ)求证:DE⊥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案:
.(Ⅰ)证明:由平面,平面,故
由,得为等腰直角三角形,故
又,故平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,为等腰直角三角形,
过作垂直于,易知又已知,故
以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,则
则有,.
设平面的法向量为,则有
,可取;
因为平面,所以平面的法向量可取.
则.
而二面角为锐二面角,故其余弦值为.