福建省宁德市东源中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 数列5,7,9,11,,的项数是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. (5分)甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()
A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多
C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲比乙先到达终点
参考答案:
D
考点: 函数的表示方法.
专题: 规律型.
分析: 根据图象法表示函数,观察甲,乙的出发时间相同;路程S相同;到达时间不同,速度不同来判断即可.
解答: 从图中直线的看出:K甲>K乙;S甲=S乙;
甲、乙同时出发,跑了相同的路程,甲先与乙到达.
故选D.
点评: 本题考查函数的表示方法,图象法.
3. 观察下列数表规律
则发生在数2012附近的箭头方向是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 函数f(x)=log3x-8+2x的零点一定位于区间( )
A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2)
参考答案:
B
5. 设函数的最小正周期为π,且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图像( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C. 关于直线对称 D.关于直线对称
参考答案:
D
函数的最小正周期为π,
即:,∴ω=2.
则f(x)=sin(2x+φ),向左平移个单位后得:sin(2x++φ)是奇函数,
即+φ=kπ,k∈Z.
∴φ=kπ﹣,
∴|φ|,
则φ=.
故得f(x)的解析式为:f(x)=sin(2x﹣).
由对称中心横坐标可得:2x﹣=kπ,
可得:x=,k∈Z.
∴A,B选项不对.
由对称轴方程可得:2x﹣=kπ+,
可得:x=,k∈Z.
当k=0时,可得.
故选:D
6. 设且,则下列不等式成立的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知直线l1:2x+3my﹣m+2=0和l2:mx+6y﹣4=0,若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由,解得m=±2,m=﹣2时舍去,可得m=2,再利用平行线之间的距离公式即可得出.
【解答】解:由,解得m=±2,m=﹣2时舍去,∴m=2,
因此两条直线方程分别化为:x+3y=0,x+3y﹣2=0.
则l1与l2之间的距离==.
故选:B.
8. 用秦九韶算法计算多项式当=5的值时,乘法运算和加法运算的次数分别
A.10,5 B.5,5 C.5,6 D.15,6
参考答案:
B
9. 下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,) B.(﹣∞,)∪(,+∞) C.(,) D.(,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减,故只需令2|a﹣1|<即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵2|a﹣1|>0,f(﹣)=f(),
∴2|a﹣1|<=2.
∴|a﹣1|,
解得.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f(x)=3sin(x+),则f(x)的周期是 ;f(π)= .
参考答案:
4π,
【考点】正弦函数的图象.
【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】利用三角函数的周期公式可求周期,利用特殊角的三角函数值即可计算得解.
【解答】解:∵f(x)=3sin(x+),
∴f(x)的周期T==4π,
f(π)=3sin(+)=3sin=3sin=.
故答案为:4π,.
【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式,特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.
12. (5分)已知△ABC中,=,=、=,若?=?,且+=0,则△ABC的形状是 .
参考答案:
等腰直角三角形
考点: 平面向量数量积的运算;三角形的形状判断.
专题: 平面向量及应用.
分析: 由?=?,利用两个向量的数量积的定义可得||?cosC=||cosA,再由余弦定理可得a=c,故三角形为等腰三角形.再由+=0 可得,,△ABC也是直角三角形,综合可得结论.
解答: ∵△ABC中,=,=、=,又∵?=?,
∴||?||?cos(π﹣C)=||?||?cos(π﹣A),化简可得||?cosC=||cosA.
设△ABC的三边分别为a、b、c,再把余弦定理代入可得a?=c?.
化简可得 a2=c2,a=c,故三角形为等腰三角形.
再由 +=0 可得 ?(+)=?(﹣)=0,∴?=0,∴.
即 B=90°,∴△ABC也是直角三角形.
故答案为:等腰直角三角形.
点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,两个向量垂直的条件,判断三角形的形状的方法,注意两个向量的
夹角的值,属于中档题.
13. 定义在R上的函数,它同时满足具有下述性质:
①对任何
②对任何则 .
参考答案:
0
14. 直线与圆相切,且与直线平行,那么直线的方程是________;
参考答案:
或
略
15. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是线段BC1上的动点,则直线A1F与平面BDC1所成的最大角的余弦值为________.
参考答案:
【分析】
作的中心,可知平面,所以直线与平面所成角为,当在中点时,最大,求出即可。
【详解】设正方体的边长为1,
连接,由于为正方体,所以为正四面体,棱长为,为等边三角形,作的中心,连接,,
由于为正四面体,为的中心,所以平面,
所以为直线与平面所成角,则当在中点时,最大,
当在中点时, 由于为正四面体,棱长为,等边三角形,为的中心,所以,,所以直线与平面所成的最大角的余弦值为
故直线与平面所成的最大角的余弦值为
故答案为
【点睛】本题考查线面所成角,解题的关键是确定当在中点时,最大,考查学生的空间想象能力以及计算能力。
16. 若函数, 分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则从小到大的顺序为_______________________.
参考答案:
略
17. 在2与32中间插入7个实数,使这9个实数成等比数列,该数列的第7项是 .
参考答案:
16
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知的值。
参考答案:
得
……………………………………2分
……………………………………5分
, ……………………………………6分
……………………………………7分
…………9分
=……………………………………10分
另解:得
………………………2分
………………………4分
由得
代入得 ………………………6分
………………………7分
解得:, ………………………9分
, ………………………10分
19. 已知集合
(Ⅰ)求:A∪B;
(Ⅱ)若求a的取值范围.
参考答案:
17.解:解:(1) ks5u---------3分
-----------5分
----------8分
(2)如图,
所以a>3 -----------12分
20. 已知集合A=,集合B=,集合C=
(1)求
(2)若,求实数的取值范围。
参考答案:
21. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理.
【分析】(1)由余弦定理可得:,已知b2﹣a2=c2.可得,a=.利用余弦定理可得cosC.可得sinC=,即可得出tanC=.
(2)由=×=3,可得c,即可得出b.
【解答】解:(1)∵A=,∴由余弦定理可得:,∴b2﹣a2=bc﹣c2,
又b2﹣a2=c2.∴ bc﹣c2=c2.∴ b=c.可得,
∴a2=b2﹣=,即a=.
∴cosC===.
∵C∈(0,π),
∴sinC==.
∴tanC==2.
(2)∵=×=3,
解得c=2.
∴=3.
22. (14分)用长为16米的篱笆,借助墙角围成一个矩形ABCD(如图),在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米(0<a<12)和4米.若此树不圈在矩形外,求矩形ABCD面积的最大值M.
参考答案:
考点: 函数模型的选择与应用.
专题: 应用题.
分析: 先设AB=x,则AD=16﹣x,依题意建立不等关系得出x的取值范围,再写出SABCD=的函数解析式,下面分类讨论:(1)当16﹣a>8(2)当16﹣a≤8,分别求出矩形ABCD面积的面积值即可.
解答: 设AB=x,则AD=16﹣x,依题意得,
即4≤x≤16﹣a(0<a<12)(2分)
SABCD=x(16﹣x)=64﹣(x﹣8)2.(6分)
(1)当16﹣a>8,即0<a<8时,
f(x)max=f(8)=64(10分)
(2)当16﹣a≤8,即8≤a<12时,
f(x)在[4,16﹣a]上是增函数,(14分)
∴f(x)max=f(16﹣a)=﹣a2+16a,
故.(16分)
点评: 构造二次函数模型,函数解析式求解是关键,然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值,但要注意自变量的实际取值范围,本题求出的函数是分段函数的形式,在分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关键点,只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题.