辽宁省鞍山市红旗营子中学2022年高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若;
②若;
③若α//β,mα,nβ,则m//n;
④若若m⊥α,n⊥β,m//n,则α//β
其中正确的命题是
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
D
2. 直线x+y+1=0的倾斜角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】I2:直线的倾斜角.
【分析】由题意可知,直线x+y+1=0的斜率为k=﹣,设其倾斜角为α,由tanα=﹣,可得直线x+y+1=0的倾斜角.
【解答】解:设其倾斜角为α,∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣,
∴tanα=﹣,又α∈[0°,180°),
∴α=120°.
故选C.
【点评】本题考查直线的倾斜角,着重考查直线的倾斜角与斜率间的关系,属于基础题.
3. 已知则( )
A、15 B、21 C、3 D、0
参考答案:
B
略
4. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:)为( )
A、 B、
14题图
C、 D、
参考答案:
D
略
6. 下列四式中不能化简为的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 已知向量, , ,若,则与的夹角是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知集合,,则A∩B=( )
A. (-1,2) B. (-∞,2) C. (-1,+∞) D.
参考答案:
A
【分析】
根据交集的定义可得结果.
【详解】由交集定义可得:
本题正确选项:A
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算,属于基础题.
9. 设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数 取函数。当=时,函数的单调递增区间为------------------------------------------------------------------( )
A . B.
C . D .
参考答案:
C
略
10. 已知均为非零实数,集合,则集合的元素的个数为( )。
A、2 B、3 C、4 D、5
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算 。
参考答案:
12. 已知向量=(2,4),=(1,1).若向量⊥(+),则实数的值是______.
参考答案:
13. 设f(x﹣1)=3x﹣1,则f(x)= .
参考答案:
3x+2
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】由题意需要设x﹣1=t,再用t表示x,代入f(x﹣1)=3x﹣1进行整理,然后再用x换t.
【解答】解:设x﹣1=t,则x=t+1,代入f(x﹣1)=3x﹣1得,
f(t)=3(t+1)﹣1=3t+2,
∴f(x)=3x+2,
故答案为:3x+2.
14. 如图,在正方形ABCD中,AD=4,E为DC上一点,且=3,F为BC的中点,则?= .
参考答案:
20
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量的加法法则与共线向量基本定理把用基向量表示,展开数量积得答案.
【解答】解:如图,在正方形ABCD中,AD=4.
∵=3,∴,
又F为BC的中点,
∴.
∴?==
==.
故答案为:20.
15. 在中,角所对的边分别为,若成等差数列,则角的取值范围是__________(角用弧度表示).
参考答案:
16. 如果,那么= 。
参考答案:
17. 在平面直角坐标系中,已知圆C: ,直线经过点,若对任意的实数,直线被圆C截得的弦长都是定值,则直线的方程为_________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知,,,,求的值.
参考答案:
∵
∴ 又 ∴
∵ ∴ 又
∴………………………………………………5分
∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] =
………………………………………………10分
19. 已知函数,其中,
(1)若f(x)的图象关于直线对称,求a的值;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)由题得,解方程即得解;(2)把对称轴与区间[0,1]分三种情况讨论求函数的最小值.
【详解】(1)因为,
所以,的图象的对称轴方程为.
由,得.
(2)函数的图象的对称轴方程为,
①当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递增,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
②当,即时,
因为在区间(0,)上单调递减,在区间(,1)上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
③当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递减,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
综上:.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 在中,分别为角的对边,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)由 …………2分
由b2=ac及正弦定理得 …………3分
于是
…………5分
(Ⅱ)由
…………7分
由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB
得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. …………9分
…………10分
略
21. 大楼共有n层,现每层指派一人,共n个人集中到第k层开会试问如何确定k,能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小?(假设相邻两层楼梯长都一样)
参考答案:
解:设相邻两层楼梯长为a ,则问题转化为下列和式S的最小值的探求:
S = S(k) = a [1 +2 +3 + ××× + (k─1)] + a [1 +2 + ××× + (n – k )]
= a [ k 2 – (n +1) k + (n 2 + n) ]
目标函数S(k)为 k的二次函数,且a > 0 ,
故当n为奇数时,取k = ,S最小;当为n偶数时,取k = 或 ,S最小
22. (12分)已知函数
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)当时函数与相同,且为偶函数,求的定义域及其表达式。
参考答案:
(1)函数f(x)是奇函数。………………1分
证明:
∴函数f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称………………3分
………………2分
∴f(x)=- f(-x),∴函数f(x)是奇函数.
(2)解:由条件得,时,
∵g(x)定义域关于原点对称,所以g(x)的值域为(-3,3) ………………2分