2021-2022学年湖南省岳阳市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.滑轮半径,一0.2m,可绕水平轴0转动,轮缘上缠有不可伸长的细绳,绳的一端挂有物体A,如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律为φ=0.15t3rad,其中t单位为s。当t-2s时,轮缘上M点速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是( )。
A.M点的速度为VM=0.36m/s
B.M点的加速度为aM=0.648m/s2
C.物体A的速度为VA=0.36m/s
D.物体A点的加速度为aA=0.36m/s2
2.已知作用在简支梁上的力F与力偶矩M=Fl,不计杆件自重和接触处摩擦,则以下关于固定铰链支座A的约束反力表述正确的是( )。
A.图(a)与图(b)相同 B.图(b)与图(c)相同 C.三者都相同 D.三者都不相同
3.曲线Y=x-3在点(1,1)处的切线的斜率为( ).
A.-1
B.-2
C.-3
D.-4
4.
A.A.2 B.1 C.0 D.-1
5.下列命题中正确的有( ).
A.A.
B.
C.
D.
6.
A.0 B.1 C.∞ D.不存在但不是∞
7.下列关系式正确的是( ).
A.A.
B.
C.
D.
8. 曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为
A.2 B.-2 C.3 D.-3
9.
A.A.2xy3
B.2xy3-1
C.2xy3-sin y
D.2xy3-sin y-1
10.
11.A.
B.
C.
D.
12.
13.等于( )。
A.-1 B.-1/2 C.1/2 D.1
14.设函数f(x)在点x0处连续,则下列结论肯定正确的是( )。
A.
B.
C.
D.
15.
16.
17.
18.
A.A.1 B.2 C.3 D.4
19.函数y=ex+e-x的单调增加区间是
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0] C.(-1,1) D.[0,+∞)
20.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
sint2dt=________。
31. 微分方程y"-y'=0的通解为______.
32.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值,则a=_____。
33.交换二重积分次序∫01dx∫x2xf(x,y)dy=________。
34.
35.
函数x=ln(1+x2-y2)的全微分dz=_________.
36.
37.
38.微分方程y'=0的通解为______.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
42. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
43.
44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
45. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
47.
48. 求微分方程的通解.
49.
50.
51. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
52.
53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
54.
55.
56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
58.证明:
59.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
60. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.(本题满分8分)设y=x+arctanx,求y.
65.
66.
67.
68.
69.
70.在曲线上求一点M(x,y),使图9-1中阴影部分面积S1,S2之和S1+S2最小.
五、高等数学(0题)
71.求
的和函数,并求
一的和。
六、解答题(0题)
72.设F(x)为f(x)的一个原函数,且f(x)=xlnx,求F(x).
参考答案
1.B
2.D
3.C 点(1,1)在曲线.由导数的几何意义可知,所求切线的斜率为-3,因此选C.
4.C
5.B
本题考查的知识点为级数的性质.
可知应选B.通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用.
6.D
本题考查了函数的极限的知识点。
7.C
本题考查的知识点为定积分的对称性.
8.C解析:
9.A
10.D解析:
11.C据右端的二次积分可得积分区域D为选项中显然没有这个结果,于是须将该区域D用另一种不等式(X-型)表示.故D又可表示为
12.A
13.C
本题考查的知识点为定积分的运算。
故应选C。
14.D
本题考查的知识点为连续性的定义,连续性与极限、可导性的关系
由函数连续性的定义:若在x0处f(x)连续,则
可知选项D正确,C不正确。
由于连续性并不能保证f(x)的可导性,可知A不正确。
自于连续必定能保证极限等于f(x0),而f(x0)不一定等于0,B不正确。
故知应选D。
15.B解析:
16.B
17.B
18.A
19.D考查了函数的单调区间的知识点.
y=ex+e-x,则y'=ex-e-x,当x>0时,y'>0,所以y在区间[0,+∞)上单调递增。
20.C解析:
21.
22.
23.
24. 解析:
25.
26.
27.-ln|3-x|+C
28. 解析:
29.本题考查的知识点为重要极限公式。
30.
31.y=C1+C2exy=C1+C2ex 解析:本题考查的知识点为二阶级常系数线性微分方程的求解.
特征方程为 r2-r=0,
特征根为 r1=0,r2=1,
方程的通解为 y=C1+C2ex.
32.
33.因为∫01dx∫x2xf(x,y)dy,所以其区域如图所示,所以先对x的积分为。
34.本题考查的知识点为重要极限公式。
35.
36.y=-e-x+C
37.
38.y=C1
本题考查的知识点为微分方程通解的概念.
微分方程为 y'=0.
dy=0. y=C.
39.5.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
解法1
解法2
40.
41.由二重积分物理意义知
42.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
43.
44.
45.
46.
列表:
说明
47.
48.
49.
50.
则
51.
52. 由一阶线性微分方程通解公式有
53.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
54.
55.
56.
57.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
58.
59.由等价无穷小量的定义可知
60. 函数的定义域为
注意
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.设设
72.由题设可得知
本题考查的知识点为两个:原函数的概念和分部积分法.