辽宁省抚顺市清原第一高级中学2022年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知在数列{an}中,,,且,,则的值为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
在数列中,,,且,对n的奇偶性进行讨论,然后再分组求和得出的值.
【详解】解:由递推公式,可得:
当n为奇数时,,数列的奇数项是首项为1,公差为4的等差数列;
当n为偶数时,,数列的偶数项是首项为2,公差为0的等差数列,
故选C.
2. 若偶函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A.f(﹣)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣)<f(2) C.f(2)<f(﹣1)<f(﹣) D.f(2)<f(﹣)<f(﹣1)
参考答案:
D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】常规题型.
【分析】题目中条件:“f(x)为偶函数,”说明:“f(﹣x)=f(x)”,将不在(﹣∞,﹣1]上的数值转化成区间(﹣∞,﹣1]上,再结合f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,即可进行判断.
【解答】解:∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣)=f(),f(﹣1)=f(1),f(﹣2)=f(2),
又f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,
∴f(﹣2)<f(﹣)<f(﹣1)
即f(2)<f(﹣)<f(﹣1)
故选D.
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
3. 三个数0.76,60.7 ,log0.76 的大小关系为
A、log0.76<0.76<60.7; B、0.76<60.7<log0.76;
C、log0.76<60.7<0.76; D、0.76<log0.76<60.7;
参考答案:
A
略
4. 下列命题正确的是
A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面
参考答案:
D
略
5. 若全集,则的元素个数( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
参考答案:
D
6. 已知为上的奇函数,,在为减函数。若,,,则a,b,c的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知α是锐角, =(,sinα),=(cosα,),且∥,则α为( )
A.15° B.45° C.75° D.15°或75°
参考答案:
D
【考点】9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量共线定理的坐标运算即可得出.
【解答】解:∵∥,
∴sinαcosα﹣=0,化为.
∵α是锐角,
∴2α∈(0°,180°).
∴2α=30°或150°,
解得α=15°或75°.
故选:D.
8. 稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,沈阳市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方面积的价格,单位为元)与第x季度之间近似满足:,已知第一、二季度平均单价如右表所示:
x
1
2
3
y
10000
9500
?
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )元
A. 10000 B. 9500 C.9000 D.8500
参考答案:
C
9. 若定义运算a?b=,则函数f(x)=3x?3﹣x的值域是( )
A. C.(0,+∞) D.(﹣∞,+∞)
参考答案:
B
【考点】函数的值域.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据题意将函数f(3x?3﹣x)解析式写出即可得到答案.
【解答】解:当x>0时;f(3x?3﹣x)=3﹣x∈(0,1);
当x=0时,f(3x?3﹣x)=30=1,
当x<0时,f(3x?3﹣x)=3x∈(0,1).
综上所述函数f(x)=3x?3﹣x的值域是(0,1],
故选:B.
【点评】本题主要考查指数函数的图象.指数函数在高考中占很大比重,图象是研究函数性质的基础要引起重视.
10. 设集合 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数是定义域为的偶函数,则=________________.
参考答案:
略
12. 已知f(x)=x2-1(x<0),则f-1(3)=_______.
参考答案:
-2
13. 函数的单调增区间为 .
参考答案:
[,1)和(1,+∞)
【考点】复合函数的单调性.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【解答】解:由x(1﹣x)≠0得x≠0且x≠1,即函数的定义域为{x|x≠0且x≠1},
设t=x(1﹣x)=﹣x2+x,对称轴为x=,则函数等价y=,
由t=x(1﹣x)>0得0<x<1,此时y=为减函数,
要求函数f(x)的单调递增区间,则求函数t=x(1﹣x)在0<x<1上的递减区间,
∵当≤x<1时,函数t=x(1﹣x)单调递减,此时函数f(x)的单调递增区间为[,1).
由t=x(1﹣x)<0得x>1或x<0,此时y=为减函数,
要求函数f(x)的单调递增区间,则求函数t=x(1﹣x)在x>1或x<0的递减区间,
∵当x>1时,函数t=x(1﹣x)单调递减,此时函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
∴函数的单调递增区间为[,1)和(1,+∞).
故答案为:[,1)和(1,+∞).
【点评】本题主要考查函数单调区间的求解,利用换元法,结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键.注意要对分母进行讨论.
14. 函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是实数集R上的偶函数,并且f(x)<0的解为(﹣2,2),则的值为 .
参考答案:
-4
【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】根据函数奇偶性的定义求出a,b,c,d的关系,结合一元二次不等式的解法进行求解即可,
【解答】解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+d是实数集R上的偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
即﹣ax3+bx2﹣cx+d=ax3+bx2+cx+d,
即﹣ax3﹣cx=ax3+cx,
则﹣a=a且﹣c=c,解得a=c=0,
则f(x)=bx2+d,
∵f(x)<0的解为(﹣2,2),
∴bx2+d<0的解为(﹣2,2),
即2,﹣2是方程bx2+d=0得两个根,且b>0,
则4b+d=0,
则d=﹣4b,即=﹣4,
故答案为:﹣4.
15. 若向量=(2,3),向量=(-4,7),则在上的正射影的数量为________________
参考答案:
设向量与的夹角为,
则在方向上的投影为.
16. 化简(1+tan2)cos2= 。
参考答案:
1
17. 若,,与的夹角为,则与的夹角的余弦值为 ▲ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10﹣,t∈[0,24)
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
参考答案:
【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10﹣2sin(t+),t∈[0,24),利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值,可得实验室这一天的最大温差.
(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由f(t)>11,求得sin(t+)<﹣,即<t+<,解得t的范围,可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(t)=10﹣=10﹣2sin(t+),t∈[0,24),
∴≤t+<,故当t+=时,及t=14时,函数取得最大值为10+2=12,
当t+=时,即t=2时,函数取得最小值为10﹣2=8,
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃.
(Ⅱ)由题意可得,当f(t)>11时,需要降温,由(Ⅰ)可得f(t)=10﹣2sin(t+),
由10﹣2sin(t+)>11,求得sin(t+)<﹣,即 <t+<,
解得10<t<18,即在10时到18时,需要降温.
19. 各项均为正数的数列{an}中,前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若<k恒成立,求k的取值范围;
(3)是否存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列?若存在,求出m和k的值,若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】8K:数列与不等式的综合.
【分析】(1)利用递推关系得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,数列{an}的各项均为正数,可得an﹣an﹣1=2,n≥2,利用等差数列的通项公式即可得出.
(2)由题意得,利用,“裂项求和”方法即可得出.
(3)an=2n﹣1.假设存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列,即.可得,进而得出..
【解答】解:(1)∵
,∴,
两式相减得,
整理得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,∴an﹣an﹣1=2,n≥2,
∴{an}是公差为2的等差数列,
又得a1=1,∴an=2n﹣1.
(2)由题意得,
∵,
∴=,
∴.
(3)∵an=2n﹣1.
假设存在正整数m,k,使得am,am+5,ak成等比数列,即
即(2m+9)2=(2m﹣1)?(2k﹣1),
∵(2m﹣1)≠0,∴,
∵2k﹣1∈Z,∴2m﹣1为100的约数,
∴2m﹣1=1,m=1,k=61.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20. 某超市为了解端午节期间粽子的销售量,对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量(单位:g)进行了问卷调查,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;
(Ⅱ)求这1000名消费者的棕子购买量在600g~1400g的人数;
(Ⅲ)求这1000名消费者的人均粽子购买量(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表).
参考答案:
(Ⅰ)a=0.001 (Ⅱ)620 (Ⅲ)1208g
【分析】
(Ⅰ)由频率分布直方图的性质,列出方程,即可求解得值;
(Ⅱ)先求出粽子购买量在的频率,由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数;
(Ⅲ)由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量
【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质,可得(0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025)×400=1,
解得a=0.001.
(Ⅱ)∵粽子购买量在600g~1400g的频率为:(0.00055+0.001)×400=0.62,
∴这1000名消费者的棕子购买量在600g~1400g的人数为:0.62×1000=620.
(Ⅲ)由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为:
(400×0.0002+800×0.00055+1200×0.001+1600×0.0005+2000×0.00025)×400=1208g.
【点睛】本题主要考查了频率