山东省烟台市莱阳团旺镇中心中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题，使；命题，都有，下列结论正确的是（    ） A． 命题“p∧q”是真命题 B． 命题“p∧”是真命题 C． 命题“∧q”是真命题 D. 命题“”是假命题 参考答案： C 略 2. 已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件． 【解答】解：2a＞2b?a＞b， 当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b， 反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立． 故选：B． 【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题． 3. 已知两直线，若则的取值 为（  ） A.   B.     C.   D. 参考答案： A 4. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是(    ) A.等腰直角三角形            B.直角三角形   C.等腰三角形        D.等腰或直角三角形 参考答案： A 5. 已知则等于       （    ） A.              B.               C.            D. 参考答案： C 6. 已知a,b为正实数，且的最小值为（     ） A．            B．6        C．3+            D．3－   参考答案： C 略 7. 已知直线切于点（1，3），则b的值为：（   ）          A．3                                 B．－3                            C．5                                 D．－5 参考答案： A 8. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（    ）A．10　　　　　B．8　　　　　 C．6　　　　　　D．4 参考答案： B 9. 在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（　　） A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 参考答案： D 【考点】BO：独立性检验的应用． 【分析】“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，得到结论． 【解答】解：∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的， 表示有99%的把握认为这个结论成立， 与多少个人患肺癌没有关系， 只有D选项正确， 故选：D． 【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，解题的关键是正确理解有多大把握认为这件事正确，实际上是对概率的理解． 10. 已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为 （A）－2        （B）       （C）1  （D）0   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题“ax2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a的取值范围是         . 参考答案： 或 12. 已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)且 a∥b ，则x＝____，y＝_____. 参考答案： x＝2，y＝－4 略 13. .五名志愿者和2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，但不排在两端，不同的排法共有                  。 参考答案： 960 略 14. 已知.若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是_____________. 参考答案： 略 15. 青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，图4是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为                  ． 参考答案： 12、84.2，85； 略 16. 在斜二测画法下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是___________． 参考答案： 8 略 17. 正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球． 【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心， 由线面垂直的性质可得AC⊥BD， 又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线， 可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD， 可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形， 故AB=AC=AD=2， 将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体， 则外接球的直径为正方体的对角线， 即有2R=2，可得R=， 由球的表面积公式可得S=4πR2=12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分8分）一次考试中，要求考生从试卷上的10个题目中任选3道题解答，其中6道甲类题，4道乙类题。 （Ⅰ）求考生所选题目都是甲类题的概率； （Ⅱ）已知一考生所选的三道题目中有2道甲类题，1道乙类题，设该考生答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立；用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列与数学期望。 参考答案： （1）设事件A＝“考生所选题目都是甲类题”。 所以。 3分 （2）X所有的可能取值为。 ； 。 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以。 8分 19. 已知函数 （1）当a=0时，求f（x）的极值； （2）若f（x）在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f（x）的导数，让导数等于0，求x的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值． （2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间上是增函数，则f（x）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间上恒大于0即可． 【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞） ∵当a=0时，f（x）=2x﹣lnx，则 ∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表 x （0，） （，+∞） f'（x） ﹣ 0 + f（x）   极小值   ∴当时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值． （2）由已知，得 若a=0，由f'（x）＞0得，显然不合题意 若a≠0∵函数f（x）区间是增函数 ∴f'（x）≥0对恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0对恒成立. 即恒成立   故 而当，函数，∴实数a的取值范围为a≥3． 【点评】本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性，属于常规题，必须掌握． 20. 求证：    （I）≥；       （II）≥． 参考答案： 解：   (I) ， ∵，∴， 即，所以.                                           （II）         ∵ ，，∴ ，即，      ∴.          略 21. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC． （Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列； （Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S． 参考答案： 【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形． 【专题】三角函数的求值；解三角形． 【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证 （II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求． 【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC ∴sinB（）= ∴sinB?= ∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc ∴sinBsin（A+C）=sinAsinC， ∵A+B+C=π ∴sin（A+C）=sinB 即sin2B=sinAsinC， 由正弦定理可得：b2=ac， 所以a，b，c成等比数列． （II）若a=1，c=2，则b2=ac=2， ∴， ∵0＜B＜π ∴sinB= ∴△ABC的面积． 【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用． 22. 已知函数 （1）当时，求函数g(x)的单调增区间； （2）求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值； （3）在（1）的条件下，设，证明：．（参考数据：） 参考答案： （1）单调增区间是，； （2）时，；时，==；时，==. （3）证明详见解析. 试题分析：（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论. (1)当时，， 或。函数的单调增区间为 (2) ， 当，单调递增， 当，单调递减， 单调递增， 当，单调递减， （3）令=—，， ，单调递减，，， ∴ ， ==……=  （） 点睛：导数法解决函数的单调性问题 (1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式直接得到单调递增(或递减)区间． (2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于0的参数的范围．