黑龙江省哈尔滨市明珠中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 定义两种运算:,,则函数为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
参考答案:
A
略
2. 设直线2x﹣y﹣=0与y轴的交点为P,点P把圆(x+1)2+y2=25的直径分为两段,则其长度之比为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
参考答案:
A
【考点】JE:直线和圆的方程的应用.
【分析】令x=0代入直线方程求得点P的坐标,根据圆方程求得圆心坐标,进而求得|OP|,最后根据被截长度之比求得答案.
【解答】解:依题意可求得P(0,﹣),
(x+1)2+y2=25圆心C(﹣1,0),
∴|CP|==2,
∵半径=5,
∴则其长度之比==,或=,
故选:A.
3. 已知圆的方程为,则它的圆心坐标和半径的长分别是( )
A.(2,0),5 B.(2,0),
C.(0,2),5 D.(0,2),
参考答案:
B
方程可化为标准式,
所以它的圆心坐标和半径的长分别是,
本题选择B选项.
4. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
参考答案:
A
【分析】
根据,因此只需把函数的图象向左平移个单位长度。
【详解】因为,所以只需把函数图象向左平移个单位长度即可得,选A.
5. 在锐角中,有 ( )
A.且 B.且
C.且 D.且
参考答案:
B
6. 已知函数,若,则( )
A.-3 B.3 C.-5 D.-3或-5
参考答案:
A
7. 已知|p|=,|q|=3,p、q的夹角为,如图1,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为( )
图1
A. B. C.7 D.18
参考答案:
A
8. 设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:
①若则; ②若则;
③若则 ④若,则
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
B
9. 已知集合,,则( )
参考答案:
B
10. 360和504的最大公约数是 ( )
A 24 B 72 C 144 D以上都不对
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数,则 =___________
参考答案:
12. 设函数f(x)=,则f(2)= .
参考答案:
19
【考点】函数的值.
【分析】根据定义域范围代值计算即可.
【解答】解:函数f(x)=,
∵2<6,
∴f(2)=f(2+3)=f(5);
又5<6,
∴f(5)=f(5+3)=f(8);
8>6,
∴f(8)=3×8﹣5=19.
所以得f(2)=19.
故答案为:19.
13. 已知向量=,向量=(cosx,﹣m+cosx),函数f(x)=?,下列关于函数f(x)的结论中正确的是 .
①最小正周期为π; ②关于直线对称;
③关于点中心对称; ④值域为.
参考答案:
①②
【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量的运算求出f(x)的解析式,结合三角函数的性质判断即可.
【解答】解:向量=,向量=(cosx,﹣m+cosx),
函数f(x)=?=sinxcosx+cos2x﹣m2=sin2x+cos2x+=sin(2x+),
①最小正周期T=.
②当x=时,sin(2x+)=1,∴f(x)关于直线对称;
③当x=时,sin(2x+)=,∴f(x)关于点中心对称.
④∵sin(2x+)值域为[﹣1,1],即﹣1≤sin(2x+)≤1,
f(x)=sin(2x+),
可得﹣1≤sin(2x+),即f(x)∈[,].
∴f(x)的值域为[,].
故答案为:①②.
14. 已知正数数列{an}对任意,都有若a2=4,则
参考答案:
64
略
15. (5分)若方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根,其中n为正整数,则n的值为 .
参考答案:
1
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根可化为函数f(x)=2x+x﹣5在区间(n,n+1)上有零点,从而由零点的判定定理求解.
解答: 方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根可化为
函数f(x)=2x+x﹣5在区间(n,n+1)上有零点,
函数f(x)=2x+x﹣5在定义域上连续,
f(1)=2+1﹣5<0,f(2)=4+2﹣5>0;
故方程2x+x﹣5=0在区间(1,2)上有实数根,
故n的值为1;
故答案为:1.
点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于基础题.
16. 已知下列关系式;①:②;③(?)=(?);④;⑤.其中正确关系式的序号是 .
参考答案:
①②④
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据向量的基本公式和基本运算律判断即可.
【解答】解:①,正确,
②,正确
③(?)=(?),向量不满足结合律,故不正确
④;正确
⑤设与的夹角为θ,则||=|||?||?cosθ|, =|||?||?cosθ,故不正确,
故答案为:①②④
17. 已知向量满足,且它们的夹角为,则 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数 .
(1)求函数的单调递增区间;(只需写出结论即可)
(2)设函数,若在区间(-1,3)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围;
(3)若存在实数,使得对于任意的,都有成立,求实数a的最大值.
参考答案:
(1)函数的单调递增区间为 ………………3分
(不要求写出具体过程)
(2)
由题意知,即得;………………8分
(3)设函数由题意,在上的最小值不小于在上的最大值,
当或时,在区间[-2, -1]单调递增,
当时,,∴存在,使得成立,
即 ,.a的最大值为 .………………12分
19. (本小题满分12分)
已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,).
(1)若||=||,求角α的值;
(2)若·=-1,求的值.
参考答案:
解:(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),
∴||=,
||=.
由||=||,得sinα=cosα.
又∵α∈(, ),∴α=.
(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.
∴sinα+cosα=.①
又=2sinαcosα.
由①式两边平方,得1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=.∴=.
20. 已知函数f(x)=sinx(2cosx﹣sinx)+1
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数,求出它的最小正周期T即可;
(Ⅱ)根据正弦函数的单调性,求出f(x)在区间[﹣,]上单调递增,[,]上的单调递减.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=sinx(2cosx﹣sinx)+1
=2sinxcosx﹣2sin2x+1
=(2sinxcosx)+(1﹣2sin2x)
=sin2x+cos2x
=2(sin2x+cos2x)
=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期T==π;
(Ⅱ)令z=2x+,
则函数y=2sinz在区间[﹣+2kπ, +2kπ],k∈Z上单调递增;
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令A=[﹣,],B=[﹣+kπ, +kπ],k∈Z,
则A∩B=[﹣,];
∴当x∈[﹣,]时,f(x)在区间[﹣,]上单调递增,在区间[,]上的单调递减.
21. 已知二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)设f(x)=.若f(2x)﹣k?2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,求k的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质;函数恒成立问题.
【分析】(Ⅰ)由题意得方程组解出即可,(Ⅱ)将f(x)进行变形,通过换元求出函数h(t)的最值,从而求出k的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵g(x)=m(x﹣1)2﹣m+1+n
∴函数g(x)的图象的对称轴方程为x=1
∵m>0依题意得,
即,
解得
∴g(x)=x2﹣2x+1,
(Ⅱ)∵
∴,
∵f(2x)﹣k?2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,
即在x∈[﹣3,3]时恒成立
∴在x∈[﹣3,3]时恒成立
只需
令,
由x∈[﹣3,3]得
设h(t)=t2﹣4t+1
∵h(t)=t2﹣4t+1
=(t﹣2)2﹣3
∴函数h(x)的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时,取得最大值33.
∴k≥h(t)max=h(8)=33
∴k的取值范围为[33,+∞).
22. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAD;
(2)求三棱锥E-ABC的体积V.
参考答案:
(1)证明:在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,
∴EF∥BC.
∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,
∴EF∥AD.-----------------------3分
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.-------------------5分
(2)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G.
则EG⊥平面ABCD,且EG=PA.------------------ ---7分
在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,
∴AP=AB=,EG=.------------------------------------------9分
∴S△ABC=AB·BC=××2=,
∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.-------------------------12分