2022-2023学年福建省福州市宦溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数在其定义域内可导,若,且当时,有设则
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an,且a2014,a2016是函数f(x)=+6x﹣1的极值点,则log2(a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
【考点】利用导数研究函数的极值;等差数列的性质.
【专题】计算题;函数思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列.
【分析】利用导数即可得出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出.
【解答】解:函数f(x)=+6x﹣1,可得f′(x)=x2﹣8x+6,
∵a2014,a2016是函数f(x)=+6x﹣1的极值点,
∴a2014,a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根,则a2014+a2016=8.
数列{an}中,满足an+2=2an+1﹣an,
可知{an}为等差数列,
∴a2014+a2016=a2000+a2030,即a2000+a2012+a2018+a2030=16,
从而log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4.
故选:C.
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键.
3. 设函数f(x)=sin(﹣2x),x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
参考答案:
B
考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性.
专题:计算题;三角函数的图像与性质.
分析:根据﹣α的诱导公式,化简得函数f(x)=sin(﹣2x)=cos2x,由此结合余弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算,即可得到本题答案.
解答: 解:∵sin(﹣α)=cosα,
∴函数f(x)=sin(﹣2x),即f(x)=cos2x
可得f(x)是偶函数,最小正周期T==π
故选:B
点评:本题给出三角函数式,求函数的周期与奇偶性,着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识,属于基础题.
4. 设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应法则f中,不能构成A到B的映射的是( )
A.f:x→y=x2 B.f:x→y=3x﹣2 C.f:x→y=﹣x+4 D.f:x→y=4﹣x2
参考答案:
D
【考点】映射.
【专题】应用题.
【分析】按照映射的定义,一个对应能构成映射的条件是,A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应.
判断题中各个对应是否满足映射的定义,从而得到结论.
【解答】解:对于对应f:x→y=x2,当1≤x≤2 时,1≤x2≤4,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故A中的对应能构成映射.
对于对应f:x→y=3x﹣2,当1≤x≤2 时,1≤3x﹣2≤4,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故B中的对应能构成映射.
对于对应f:x→y=﹣x+4,当1≤x≤2 时,2≤﹣x+4≤3,在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x,
在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应,故B中的对应能构成映射.
对于对应f:x→y=4﹣x2 ,当x=2 时,y=0,显然y=0不在集合B中,不满足映射的定义,
故D中的对应不能构成A到B的映射.
故选D.
【点评】本题考查映射的定义,一个对应能构成映射时,必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素
与之对应.
5. 已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )
A.若则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
参考答案:
B
6. 执行如右图所示的程序框图,如输入,则输出的值为
A.5
B.
C.9
D.
参考答案:
D
7. 已知单位向量和的夹角为,记 , , 则向量与的夹角为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
【知识点】平面向量数量积的运算.F3
C 解析:由于单位向量和的夹角为,
则,
则,
,,
即有
则由于0°≤<,>≤180°,
则向量与的夹角为120°.
故选C.
【思路点拨】运用向量的数量积的定义,求得单位向量和的数量积,再求向量与的数量积和模,运用向量的夹角公式计算即可得到夹角.
8. 已知数列{}的前n项和,正项等比数列{}中,则
A、n-1 B、2n-1 C、n-2 D、n
参考答案:
D
法一:因为,所以,,验证可知A,B,C均不符合,故答案为D.
法二:因为,所以,又,即,∴,.所以数列{bn}的通项公式是,所以.故选D.
9. 已知是上的减函数,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 若是方程式 的解,则属于区间 ( )
A.(0,1) B.(1,2). C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量,满足,,且,的夹角为,则 .
参考答案:
12. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为 .
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
参考答案:
答案:
13. 若展开式的常数项是60,则常数a的值为 .
参考答案:
14. 若x、y满足约束条件的取值范围是 .
参考答案:
[2,6]
15. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则公比q=_______.
参考答案:
-2
16. (5分)已知α为第三象限角,且 sin(π﹣α)=﹣,f(α)== .
参考答案:
考点: 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.
专题: 三角函数的求值.
分析: 已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值,由α为第三象限,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,f(α)利用诱导公式化简,约分后将cosα的值代入计算即可求出值.
解答: ∵α为第三象限角,且sin(π﹣α)=sinα=﹣,
∴cosα=﹣=﹣,
则原式==﹣cosα=,
故答案为:.
点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值,熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键.
17. 椭圆上的点到直线的最大距离是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量且m⊥n,又函数的图像任意两相邻对称轴间距为
(1)求ω的值;
(2)探讨函数上的单调性.
参考答案:
略
19. 如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3, D为AC的中点.
(1)求证:AB1//面BDC1;
(2)求二面角C1—BD—C的余弦值;
(3)在侧棱AA-1上是否存在点P,使得CP⊥面BDC1?并证明你的结论.
参考答案:
略 解析:解:(I)证明:连接B1C,与BC1相交于O,连接OD
∵BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中点.
又D是AC的中点,∴OD//AB1.………………………2分
∵AB-1面BDC-1,OD面BDC1,∴AB1//面BDC1.………4分
(II)解:如图,建立空间直角坐标系,则
C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),
D(1,3,0)……………………5分
设=(x1,y1,z1)是面BDC1的一个法向量,则
即.…………………………………………6分
易知=(0,3,0)是面ABC的一个法向量.
.……………………………8分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………………………………………9分
(III)假设侧棱AA1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1.则∴方程组无解.∴假设不成立.
∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1.……………………………14分
略
20. (本小题满分12分)已知中,、、是三个内角、、的对边,关于 的不等式的解集是空集.
(Ⅰ)求角的最大值;
(Ⅱ)若,的面积,求当角取最大值时的值.
参考答案:
(Ⅰ)由关于 的不等式的解集是空集,
得…………………………………6分
(Ⅱ)
,且,故
…………………………………………………………………………12分
21. 已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点.
(I)求证:EF⊥平面PAD;
(II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小.
参考答案:
解答: 解:(I)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,
∴AB⊥平面PAD,(4分)
∵E、F为PA、PB的中点,
∴EF∥AB,
∴EF⊥平面PAD; (6分)
(II)解:过P作AD的垂线,垂足为O,
∵平面PAD⊥平面ABCD,则PO⊥平面ABCD.
取AO中点M,连OG,EO,EM,
∵EF∥AB∥OG,
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线(8分)
又EM∥OP,则EM⊥平面ABCD.且OG⊥AO,
故OG⊥EO
∴∠EOM 即为所求 (11分)
在RT△EOM中,EM=OM=1
∴tan∠EOM=,故∠EOM=60°
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°.(14分)
略
22. (12分)集合.
(1)若集合只有一个元素,求实数的值;
(2)若是的真子集,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)根据集合有有两个相等的实数根,所以
或;
(2)根据条件, , 是的真子集,所以当时,
;
当时,根据(1)将分别代入集合检验,当, ,
不满足条件,舍去;当, ,满足条件;
综上,实数的取值范围是.