广西壮族自治区钦州市北通中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某产品40件,其中有次品数3件,现从中任取2件,则其中至少有一件次品的概率是( )
A.0.146 2 B.0.153 8
C.0.996 2 D.0.853 8
参考答案:
A
试题分析:P=1-=0.1462.故选A
考点:古典概型概率
2. 在△ABC中,角A,B所对的边长为a,b,则“a=b”是“acosA=bcosB”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
A
略
3. 若集合,集合,则 ( )
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2}
参考答案:
C
4. 已知>0,b>0,+b=2,则=的最小值是
(A) (B)4 (C) (D) 5
参考答案:
C
5. 已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围( )
A B (1,2) C D (0,1)
参考答案:
D
7. 已知复数z满足|z|=1,则|z-i|(i为虚数单位)的最大值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
C
【分析】
根据复数模的几何意义,求得题目所给表达式的最大值.
【详解】表示的复数在单位圆上,而表示的几何意义是单位圆上的点,到点距离,由于点在单位圆上,故最远的距离为直径,单位圆的直径为,故本小题选C.
【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义,考查化归与转化的数学思想方法,考查圆的几何性质,属于基础题.
8. 下列函数中,在区间(0,)上是增函数的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.b=a3+
C.(b﹣a3)(b﹣a3﹣)=0 D.|b﹣a3|+|b﹣a3﹣|=0
参考答案:
C
【考点】平面向量的坐标运算.
【专题】分类讨论;平面向量及应用.
【分析】根据△OAB为直角三角形,讨论是OA⊥OB?还是OA⊥AB?OB⊥AB?
再利用平面向量的数量积,求出a、b的关系即可.
【解答】解:∵点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),
且△OAB为直角三角形,
∴当OA⊥OB时, =(0,b),=(a,a3),
∴?=ba3=0,∴b=0或a=0,此时不成立;
当OA⊥AB时, =(0,b),=(a,a3﹣b),
∴?=b(a3﹣b)=0,∴b≠0且a3﹣b=0;
当OB⊥AB时, =(a,a3﹣b),=(a,a3),
∴?=a2+a3(a3﹣b)=0,∴a≠0且+a3﹣b=0;
综上,a3﹣b=0或+a3﹣b=0,
即(b﹣a3)(b﹣a3﹣)=0.
故选:C.
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目.
10. 已知向量,,且,则的值为( )
A. 3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知曲线的极坐标方程分别为和,
设点在曲线上,点在上,则的最小值为
参考答案:
1
略
12. 若是一组基底,向量,则称为向量在基底下的坐标,现已知向量在基底下的坐标为,则在另一组基底下的坐标为 。
参考答案:
1
13. 若两个非零向量,满足,则与的夹角为 ▲ .
参考答案:
【知识点】向量加法与减法运算的几何意义
【答案解析】解析:解:因为,所以以向量为邻边的平行四边形为矩形,且构成对应的角为30°的直角三角形,则则与的夹角为60°.
【思路点拨】求向量的夹角可以用向量的夹角公式计算,也可利用向量运算的几何意义直接判断.
14. 已知双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,点A在双曲线第一象限的图象上,若△AF1F2的面积为1,且tan∠AF1F2=,tan∠AF2F1=﹣2,则双曲线方程为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设A(m,n).m>0,n>0.由tan∠AF1F2可得=,由tan∠AF2F1=﹣2可得=2,由△AF1F2的面积为1可得?2c?n=1,联立求出A的坐标,即可得出双曲线的方程.
【解答】解:设A(m,n).m>0,n>0.
由tan∠AF1F2可得=,
由tan∠AF2F1=﹣2可得=2,
由△AF1F2的面积为1可得?2c?n=1,
以上三式联立解得:c=,m=,n=.
所以A(,),F1(﹣,0),F2(,0).
根据双曲线定义可得2a=|AF1|﹣|AF2|=.
所以a=,b=,
所以双曲线方程为.
故答案为.
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活利用.
15. 已知函数,函数,(),若对任意,总存在,使得成立,则a的取值范围是 .
参考答案:
对函数f(x)求导可得:,
令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x
0
1
f′(x)
?
0
+
f(x)
单调递减
?4
单调递增
?3
所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[?4,?3].
对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2?a2).
因为a?1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1?a2)?0,
因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],
又g(1)=1?2a?3a2,g(0)=?2a,
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1?2a?3a2,?2a],
任给x1∈[0,1],f(x1)∈[?4,?3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1),
则[1?2a?3a2,?2a]?[?4,?3],即,
解①式得a≥1或a≤?,
解②式得a≤,
又a≥1,故a的取值范围内是.
16. 下列各数85(9)、1000(4)、111111(2)中最小的数是 .
参考答案:
111111(2)
【考点】进位制.
【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数,进而可以比较其大小.
【解答】解:85(9)=8×9+5=77,
1000(4)=1×43=64,
111111(2)=1×26﹣1=63,
故最小的数是111111(2)
故答案为:111111(2)
17. 函数的图像在处的切线方程为_______.
参考答案:
【分析】
对函数求导,把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率,进而求得切线方程。
【详解】,函数的图像在处的切线方程为,即.
【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式,关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值,属于基础题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知A、B、C 为的三个内角,他们的对边分别为a、b、c,且。
(1)求A;
(2)若求bc的值,并求的面积。
参考答案:
(1)
(2)由余弦定理可得:
由得
略
19.
参考答案:
20. 已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,抛物线与双曲线交点为,求抛物线方程和双曲线方程.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点,可得p=2c,再利用抛物线与双曲线同过交点,求出c、p的值,进而结合双曲线的性质a2+b2=c2,求解即可.
【解答】解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p=2c.
设抛物线方程为y2=4cx,
∵抛物线过点,6=4c?.
∴c=1,故抛物线方程为y2=4x.
又双曲线过,
∴=1.又a2+b2=c2=1,∴a2=或a2=9(舍).
∴b2=,
故双曲线方程为:4x2﹣=1.
21. 是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当间的距离最大时,直线的方程是 .
参考答案:
略
22. 已知命题方程有两个不等的实根;方程无实根,若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围。
参考答案:
解析:∵为真,为假,所以和一真一假,
由得;
由得。
若真假,则,∴。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
若假真,则,得,综上,。