浙江省嘉兴市洲泉中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x>1,x+≥m恒成立,则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,3] C.[2,+∞) D.[3,+∞)
参考答案:
B
【考点】基本不等式.
【分析】问题转化为m≤(x+)min即可,根据基本不等式的性质求出(x+)的最小值即可.
【解答】解:若x>1,x+≥m恒成立,
只需m≤(x+)min即可,
而x+=(x﹣1)++1≥2+1=3,此时x=2取等号,
故m≤3,
故选:B.
【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查基本不等式的性质,是一道基础题.
2. 如图所示,空间四边形OABC中,=a,=b,=c, 点M在OA上,且=2,N为BC中点,则等于 ( )
参考答案:
B
3. 满足条件|z﹣i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆
参考答案:
C
【考点】J3:轨迹方程;A3:复数相等的充要条件.
【分析】据得数的几何意义可直接得出|z﹣i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.
【解答】解:|3+4i|=5
满足条件|z﹣i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是
圆心为(0,1),半径为5的圆.
故应选C.
4. 将函数f (x)=sin2x (x∈R)的图象向右平移个单位,则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )
A.(﹣,0) B.(0,) C.(,) D.(,π)
参考答案:
B
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;复合三角函数的单调性.
专题:计算题.
分析:将函数f (x)=sin2x (x∈R)的图象向右平移个单位,可得到g(x)=f (x﹣)=sin2(x﹣)=﹣cos2x (x∈R),求得其单调递增区间,再判断即可.
解答: 解:f (x)=sin2x (x∈R)g(x)=f (x﹣)=sin2(x﹣)=﹣cos2x=cos(2x+π )(x∈R),
∵g(x)=cos(2x+π )的单调递增区间由2kπ﹣π≤2x+π≤2kπ得:kπ﹣π≤x≤kπ﹣(k∈Z).
∴当k=1时,0≤x≤.而(0,)?[0,],
故选B.
点评:本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,关键在于掌握图象变换的规则(方向与单位),属于中档题.
5. 平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.α内的任何直线都与β平行
C.直线a?α,直线b?β,且a∥β,b∥α
D.直线a?α,直线a∥β
参考答案:
B
【考点】平面与平面平行的判定.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】根据面面平行的判定定理,只要其中一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面即可.
【解答】解:对于选项A,α内有无穷多条直线与β平行,如果这无穷多条直线是平行的,α,β可能相交;
对于选项B,α内的任何直线都与β平行,一定有两条相交直线与β平行,满足面面平行的判定定理,可以得到α∥β;
对于选项C,直线a?α,直线b?β,且a∥β,b∥α,如果a,b都平行α,β的交线,但是α与β相交;
对于选项D,直线a?α,直线a∥β,α,β可能相交;
故选B.
【点评】本题考查了面面平行的判定以及学生的空间想象能力.
6. 直线与圆的位置关系是( )
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)与实数的大小有关
参考答案:
B
略
7. 设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
8. 已知两条直线和互相垂直,则等于
A. 2 B. 1 C. 0 D.
参考答案:
D
略
9. 在同一坐标系中,方程与的曲线大致是
参考答案:
D
略
10. 设随机变量,且,,则( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.2
参考答案:
A
【分析】
根据,得,解得再求解.
【详解】因为
所以,
所以,
所以
故选:A
【点睛】本题主要考查正态分布的运算,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正方体中,二面角的大小为__________.
参考答案:
略
12. 已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
m
则m =________
参考答案:
【分析】
根据所有可能取值对应的概率和为可构造方程求得结果.
【详解】由题意得:,解得:
本题正确结果:
【点睛】本题考查分布列中概率的性质,属于基础题.
13. 已知函数,对任意的,存在实数,使得成立,则实数a的最大值为 .
参考答案:
14. 如果函数,那么函数的最大值等于 ▲ .
参考答案:
3
15. 从标有1,2,3,4,5的五张卡中,依次抽出2张,则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为________;
参考答案:
【分析】
设事件A表示“第一张抽到奇数”,事件B表示“第二张抽取偶数”,则P(A),P(AB),利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率.
【详解】解:从标有1、2、3、4、5的五张卡片中,依次抽出2张,
设事件A表示“第一张抽到奇数”,事件B表示“第二张抽取偶数”,
则P(A),P(AB),
则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为:
P(A|B).
【点睛】本题考查概率的求法,考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力.
16. 已知A、B、C是直线l上的三点,向量满足,则函数的表达式为
参考答案:
f(x)=
略
17. 已知数列,,计算数列的第20项。现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)。为使之能完成上述的算法功能,则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ;在处理框中(B)处应填上合适的语句是 。
参考答案:
(A)(或)(B)
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
设曲线 在点处的切线为,曲线在点处的切线为,若存在,使得⊥,求实数的取值范围.
参考答案:
解:依题意由,y′=aex+(ax-1)ex=(ax+a-1)ex,
所以kl1=(ax0+a-1)ex0.
由y=(1-x)e-x=,得y′==,
所以kl2=.4
因为l1⊥l2,所以kl1·kl2=-1,即(ax0+a-1)ex0·=-1,
即(ax0+a-1)·(x0-2)=-1,从而a=,其中x0∈………………7
令f(x)=,则f′(x)=,……………………8
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增.
又因为f(0)=,f(1)=1,f=,所以a的取值范围是…………………12
19. 已知函数的定义域为集合,函数的定义域为集合,若,求实数的值及实数的取值范围.
参考答案:
20. (12分)焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为,,且与共线.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的
圆的内部,求实 数m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)
(Ⅰ)设椭圆E的标准方程为,由已知得
∴,∵与共线,
∴,又
∴, ∴椭圆E的标准方程为
(Ⅱ)设,把直线方程代入椭圆方程,
消去y,得,,
∴,
(*)
∵原点O总在以PQ为直径的圆内,∴,即
又
由得,依题意且满足(*)
故实数m的取值范围是
21. (本小题满分12分)设函数
(1)当时,求曲线处的切线方程;
(2)当时,求的极大值和极小值;
(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
参考答案:
令………………6分
∴递减,在(3,+)递增
∴的极大值为…………8分
(3)
①若上单调递增。∴满足要求。…………………10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
时,不合题意。
综上所述,实数的取值范围是……………12分
22. (12分)已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣9x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间(m>﹣1)的最小值.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】函数思想;演绎法;导数的概念及应用.
【分析】(1)f′( x)=3x2﹣6x﹣9=3( x﹣3)( x+1),令 f′( x)>0,得 x<﹣1 或 x>3,令 f′( x)<0,得﹣1<x<3即可得到单调区间;
(2)由 ( 1)知,可分当﹣1<m≤3 时,当 m>3 时分别求最小值.
【解答】解:(1)f′( x)=3x2﹣6x﹣9=3( x﹣3)( x+1)
令 f′( x)>0,得 x<﹣1 或 x>3
令 f′( x)<0,得﹣1<x<3
∴f( x) 的 增 区 间 为 (﹣∞,﹣1)和 ( 3,+∞),f( x) 的 减 区 间 为 (﹣1,3)
(2)由 ( 1)知,当﹣1<m≤3 时,
f( x)min=f( m)=m3﹣3m2﹣9m+2
当 m>3 时,f( x)min=f(3)=﹣25
∴f( x)min=
【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间、最值,考查了分类讨论思想,属于中档题.