黑龙江省伊春市宜春冯川中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,若,则( )
A.4 B.5 C.-2 D.-3
参考答案:
A
略
2. 已知函数有且仅有两个不同的零点,,则( )
A.当时,, B.当时,,
C.当时,, D.当时,,
参考答案:
B
3. 将正整数排列如图:则图中数2019出现在( )
A. 第44行第84列 B. 第45行第84列
C. 第44行第83列 D. 第45行第83列
参考答案:
D
【分析】
经过观察,第n行的最后一个数为n2,令n2≤2019,得n≤44,所以2019在第45行,2019﹣442=83,故可得2019 的位置.
【详解】依题意,经过观察,第n行的最后一个数为n2,而令n2≤2019得,n≤44,
所以2019在第45行,2019﹣442=83,所以2019 在第45行,第83列.
故选:D.
4. 平面α截球O的球面所得圆的面积为π,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.π B.4π C.4π D.6π
参考答案:
B
球半径,所以球的体积为,选B.
5. A、B两篮球队进行比赛,规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束(七局四胜制),A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为,ξ为比赛需要的场数,则Eξ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.
【分析】先确定比赛需要的场数ξ的取值,求出相应的概率,即可求得数学期望.
【解答】解:由题设知,比赛需要的场数ξ为4,5,6,7.
p(ξ=4)=()4+()4=;p(ξ=5)=2×=;p(ξ=6)=2=
p(ξ=7)=2=
∴Eξ=4×+5×+6×+7×=
故选B.
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望,考查学生的运算能力,确定变量的取值,求出相应的概率是关键.
6. 现有A、B、C、D、E五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛,每人限报一组,那么不同的报名方法种数有( )
A. 120种 B. 5种 C. 种 D. 种
参考答案:
D
【分析】
先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.
【详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.
同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到
答案为D
【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.
7. 已知命题,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
8. 若的二项展开式各项系数和为256,i为虚数单位,则复数的运算结果为( )
A.-16 B. 16 C. -4 D. 4
参考答案:
C
【详解】分析:利用赋值法求得,再按复数的乘方法则计算.
详解:令,得,,
∴.
故选C.
点睛:在二项式的展开式中,求系数和问题,一般用赋值法,如各项系数为,二项式系数和为,两者不能混淆.
9. 函数的图象如下左图所示,则导函数的图象大致是 ( )
参考答案:
D
10. 等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合为平面内的点集,对于给定的点A,若存在点,使得对任意的点,均有,则定义为点A到点集的距离。已知点集,则平面内到的距离为1的动点A的轨迹所围成图形的面积为_______________。
参考答案:
略
12. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于
参考答案:
13. 已知椭圆,,为左顶点,为短轴端点,为右焦点,且,则这个椭圆的离心率等于________ 。
参考答案:
14. 某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车发往A地,李磊不定时的到车站等车去A地,则他最多等3分钟的概率为
参考答案:
略
15. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,AC=2,O为AC中点,抛物线的一部分在矩形内,点O为抛物线顶点,点B,D在抛物线上,在矩形内随机投一点,则此点落在阴影部分的概率为________.
参考答案:
略
16. 已知三角形两边长分别为2和2,第三边上的中线长为2,则三角形的外接圆半径为 .
参考答案:
2
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】设AB=2,AC=2,AD=2,D为BC边的中点,BC=2x,则BD=DC=x,由,且cos∠ADB=﹣cos∠ADC,代入可求BC,则可得A=90°,外接圆的直径2R=BC,从而可求
【解答】解:设AB=2,AC=2,AD=2,D为BC边的中点,BC=2x,则BD=DC=x
△ABD中,由余弦定理可得,
△ADC中,由余弦定理可得,
∴
∴x=2
∴BC=4
∴AB2+AC2=BC2即A=90°
∴外接圆的直径2R=BC=4,从而可得R=2
故答案为:2
17. 在正方体中,分别为棱和的中点,则sin〈,〉的值为________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知:在数列{an}中,a1=7,an+1=,
(1)请写出这个数列的前4项,并猜想这个数列的通项公式.
(2)请证明你猜想的通项公式的正确性.
参考答案:
【考点】RG:数学归纳法;81:数列的概念及简单表示法.
【分析】(1)由a1=7,,代入计算,可求数列的前4项,从而猜想{an}的通项公式;
用数学归纳法证明,关键是假设当n=k(k≥1)时,命题成立,利用递推式,证明当n=k+1时,等式成立.
【解答】解:(1)由已知…
猜想:an=…
(2)由
两边取倒数得:?,?,…
?数列 {}是以=为首相,以为公差的等差数列,…
?=+(n﹣1)=?a n=…
19. (6分)已知点A(3,2), 点P是抛物线y2=4x上的一个动点,求的最小值及此时P点的坐标.
参考答案:
记抛物线y2=2x的焦点为F(1,0),准线l是x= -1,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,即PF=PP/ ,
因此PA +PF=PA+ PP/ AP/=4, 此时P(1,2)。
20. (本小题满分14分)给定两个命题,:对任意实数都有恒成立;:.如果∨为真命题,∧为假命题,求实数的取值范围.
参考答案:
或.
21. 某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为60海里/小时,甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里,每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为0.5,其余费用为每小时1250元。
(Ⅰ)把全程运输成本(元)表示为速度(海里/小时)的函数;
(Ⅱ)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
参考答案:
略
22. 已知命题p:关于x的方程有实根;命题q:关于x的函数在[2,+∞)是增函数,若为真,为假,求a的取值范围.
参考答案:
命题p:关于x的方程有实根,则,
解得;-----------------------------------------(4分)
命题q:关于的函数在是增函数,所以,
解得.-----------------------------------------------------------(8分)
若为真,为假,则p与q必然一真一假,
所以.,或,解得,所以实数a的取值范围是.-----------------------(12分)