2022年江苏省扬州市私立中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 数列{an}中,a1=,an+1=(其中n∈N*),则使得a1+a2+a3+…+an≥72成立的n的最小值为( )
A.236 B.238 C.240 D.242
参考答案:
B
【考点】数列递推式.
【分析】由数列递推式得到数列为周期是4的周期数列,求出前4项的和,得到前236项和小于72,加上第237和第238项和后满足条件.
【解答】解:由a1=,an+1=,得
,,,,
…
由上可知,数列{an}是以4为周期的周期数列,
又.
∵,
∴数列{an}的前236项和小于72,加上为大于72,
∴使得a1+a2+a3+…+an≥72成立的n的最小值为238.
故选:B.
2. 在(1﹣x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an﹣5=0,则自然数n的值是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
B
【考点】二项式定理的应用.
【分析】由二项展开式的通项公式Tr+1=?(﹣1)rxr可得ar=(﹣1)r?,于是有2(﹣1)2+(﹣1)n﹣5=0,由此可解得自然数n的值.
【解答】解:由题意得,该二项展开式的通项公式Tr+1=?(﹣1)rxr,
∴该项的系数ar=(﹣1)r?,
∵2a2+an﹣5=0,
∴2(﹣1)2+(﹣1)n﹣5=0,即2+(﹣1)n﹣5?=0,
∴n﹣5为奇数,
∴2==,
∴2×=,
∴(n﹣2)(n﹣3)(n﹣4)=120.
∴n=8.
故答案为:8.
3. 设函数,则“”是“函数在上存在零点”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【知识点】零点与方程
【试题解析】因为
所以若,则函数在上存在零点;
反过来,若函数在上存在零点,则
则故不一定。
故答案为:A
4. 集合M={x|x=+1,n∈Z},N={y|y=m+,m∈Z },则两集合M,N的关系为( )
A.M∩N=? B.M=N C.M?N D.N?M
参考答案:
D
【分析】对集合M中的n分奇数、偶数讨论,然后根据元素的关系判断集合的关系.
【解答】解:由题意,n为偶数时,设n=2k,x=k+1,
当n为奇数时,设n=2k+1,则x=k+1+,
∴N?M,
故选D.
【点评】本题主要考查集合关系的判断,利用集合元素的关系判断集合关系是解决本题的关键.
5. 在等差数列中,若,则的值为( )
A.20 B.22 C.24 D.28
参考答案:
C
略
6. 关于的方程的不等实根的个数为( )
A.1 B.3 C.5 D.1或5
参考答案:
B
7. 是的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
8. 下列命题错误的是
A.命题“若则”的逆否命题为“若则”
B.若为假命题,则均为假命题
C.命题存在使得,则任意都有
D.“x>2”是“”的充分不必要条件
参考答案:
B
略
9. 若函数的图象如右图,其中a,b为常数,则函数的大致图象是 ( )
参考答案:
D
10. 设则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽 米。
参考答案:
略
12. 已知过点P(1,0)且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A、B两点,则弦长|AB|= .
参考答案:
13. 用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ▲ 。
参考答案:
略
14. 已知,,满足,则 .
参考答案:
15. 已知同一平面上的向量,,,满足如下条件:
①;
②;
③,
则的最大值与最小值之差是 .
参考答案:
2
考点:
平面向量数量积的运算;向量的模..
专题:
平面向量及应用.
分析:
根据②③判断出四边形ABCQ是正方形,并建立坐标系,找出A,B,C及Q的坐标,设出P的坐标,利用向量的坐标运算求出的坐标,由①和向量的模列出关系式,化简后可得到点P的轨迹方程,其轨迹方程为一个圆,找出圆心坐标和半径,根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值.
解答:
解:根据②③画出图形如下:并以AB 为x轴,以AQ为y轴建立坐标系,
∵,∴,则四边形ABCQ是矩形,
∵,∴AC⊥BQ,则四边形ABCQ是正方形,
则A(0,0),B(2,0),Q(0,2),C(2,2),设P(x,y),
∴=(﹣x,﹣y)+(2﹣x,﹣y)=(2﹣2x,﹣2y),
∵,∴(2﹣2x)2+4y2=4,化简得(x﹣1)2+y2=1,
则点P得轨迹是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,
∴|PQ|是点Q(0,2)到圆(x﹣1)2+y2=1任一点的距离,
则|PQ|最大值是+1,最小值是﹣1,
即的最大值与最小值之差是2,
故答案为2.
点评:
本题题考查了向量的线性运算的几何意义,数量积的性质,以及圆的标准方程和两点间的距离公式,解本题的关键是根据题意正确画出图形,并判断出特征,再建立合适的平面直角坐标系,找出动点P的轨迹方程,难度较大,体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化.
16. 已知中,,,点为线段上的动点,动点满足,则的最小值等于 ▲ .
参考答案:
17. 已知=3,,则= .
参考答案:
考点:极限及其运算.
专题:导数的综合应用.
分析:利用数列极限的运算法则即可得出.
解答: 解:∵=3,,
则===.
故答案为:.
点评:本题考查了数列极限的运算法则,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知矩形中, 、分别是、上的点, , , , 、分别是、的中点,现沿着翻折,使得二面角大小为.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案:
Ⅰ)取的中点,连接, ,又为的中点,所以, 平面, 平面,所以平面,同理可证, 平面,又因为,所以平面平面, 平面,所以平面.
(Ⅱ)在平面内,过点作的垂线,易证明这条垂线垂直平面,因为二面角大小为,所以,建立空间直角坐标系如图所示,则, , , , ,则, , ,
设平面的一个法向量,根据 ,令,则, ,所以,设平面的一个法向量,根据 ,令,则, ,所以,
所以 ,所以二面角的余弦值为.
19. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
参考答案:
考点:利用导数研究函数的极值;函数模型的选择与应用.
专题:计算题;应用题.
分析:(I)把用的时间求出,在乘以每小时的耗油量y即可.
(II)求出耗油量为h(x)与速度为x的关系式,再利用导函数求出h(x)的极小值判断出就是最小值即可.
解答: 解:(I)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗油(升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(II)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得,.
令h'(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.
∴当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,
所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
点评:本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
20. 设正实数x、y、z满足,则当取得最大值时,的最大值为
参考答案:
1
21. 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的正半轴重合,
直线l的参数方程为,
圆C的极坐标方程为.
(Ⅰ)若直线l与圆C相切,求的值;
(Ⅱ)若直线l与圆C有公共点,求的范围.
参考答案:
将方程和化为普通方程。则有,,有图可知
(Ⅰ)直线l与圆C相切时,
(Ⅱ)直线l与圆C有公共点,
略
22. (本小题满分12分)
已知函数。
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若在恒成立,求的取值范围。
参考答案:
(1)
当时,单调递减,
单调递增。
当时,单调递增。
所以,当时,单调递减区间为,递增区间为;
当时,单调递增区间为.……………4分
(2),得到
令函数
由(1)知
所以单调递减,单调递增。
,即,
在单调递减,
在,,若恒成立,则 …………12分