2022年江苏省镇江市中山中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A 、 B、 C、 D、
参考答案:
B
2. 公差不为0的等差数列中,,数列是等比数列,且,则 ( )
2 4 8 16
参考答案:
D
3. 某射击手射击一次命中的概率是0.7,连续两次均射中的概率是0.4,已知某次射中,则随后一次射中的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】相互独立事件的概率乘法公式.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】设“某次射中”为事件A,“随后一次的射中”为事件B,则P(AB)=0.4,P(A)=0.7,利用P(B|A)=可得结论.
【解答】解:设“某次射中”为事件A,“随后一次的射中”为事件B,
则P(AB)=0.4,P(A)=0.7,
所以P(B|A)==.
故选:C.
【点评】本题考查条件概率,考查学生的计算能力,比较基础.
4. 运行如图所示的程序框图,若输出的是,则①应为
A.≤ B.≤
C.≤ D.≤
参考答案:
C
略
5. 在区域D:内随机取一个点,则此点到点A(1,2)的距离大于2的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知集合M={x|x2﹣x≤0,x∈Z},N={x|x=2n,n∈N},则M∩N为( )
A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】求出M中的元素,求出M、N的交集即可.
【解答】解:M={x|x2﹣x≤0,x∈Z}={0,1},
N={x|x=2n,n∈N},
则M∩N={0},
故选:A.
7. 已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或7
参考答案:
C
8. 函数的零点所在的一个区间是 ( )
A.(一2,一1) B.(一1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
B
9. 是双曲线的右支上一点,点分别是圆和上的动点,则的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
参考答案:
C
10.
已知是直线,是平面,给出下列命题:
①若内有两相交直线;
②
③;
④;
⑤
其中正确的命题序号是
A.①③⑤ B.②④ C.①⑤ D.①④
参考答案:
答案:D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量 不共线,,,如果,则k=______.
参考答案:
【分析】
由向量,所以,得到且,即可求解,得到答案。
【详解】由题意,向量,所以,
则且,解得.
【点睛】本题主要考查了向量的共线条件的应用,其中解答中熟记向量共线条件,列出关于的关系式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题。
12. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:
根据上述分解规律,若的分解中含有数35,则的值为_________.
参考答案:
6
13. 已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数k, 对定义域中的任意,等式=+恒成立.现有两个函数,,则函数、与集合的关系为
参考答案:
14. 已知向量,,若,则 .
参考答案:
5
∵且
∴
∴
∴
∴
故答案为5
15. 已知函数的定义域为,当时,;当时,;当时,.则__________.
参考答案:
当时,,所以当时,,故;
当时,,所以.
当时,,所以,故.
16. 的展开式中项的系数是____________(用数字作答)
参考答案:
80
17. 在平面直角坐标系中,设点,其中O为坐标原点,对于以下结论:
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2;
②设P为直线上任意一点,则[OP]的最小值为1;
③设P为直线上的任意一点,则“使[OP]最小的点P有无数个”
的必要不充分条件是“”.
其中正确的结论有 (填上你认为正确的所有结论的序号).
参考答案:
①③
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)(2016?江西模拟)已知函数f(x)=x2﹣2ax+lnx(a∈R),x∈(1,+∞).
(1)若函数f(x)有且只有一个极值点,求实数a的取值范围;
(2)对于函数f(x)、f1(x)、f2(x),若对于区间D上的任意一个x,都有f1(x)<f(x)<f2(x),则称函数f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间D上的一个“分界函数”.已知f1(x)=(1﹣a2)lnx,f2(x)=(1﹣a)x2,问是否存在实数a,使得f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】(1)求出函数的导数,根据f(x)有且只有一个极值点,得到x2﹣2ax+1<0恒成立,求出a的范围即可;
(2)根据“分界函数”的定义,只需x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,判断函数的单调性,求出a的范围即可.
【解答】解:(1)f′(x)=,x∈(1,+∞),
令g(x)=x2﹣2ax+1,由题意得:g(x)在[1,+∞)有且只有1个零点,
∴g(1)<0,解得:a>1;
(2)若f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”,
则x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,
令h(x)=f(x)﹣(1﹣a)x2=(a﹣)x2﹣2ax+lnx,
则h′(x)=,
①2a﹣1≤0即a≤时,当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(1)=﹣﹣a,
∴h(1)≤0,解得:﹣≤a≤;
②2a﹣1>0即a>时,y=(a﹣)x2﹣2ax的图象开口向上,
存在x0>1,使得(a﹣)﹣2ax0>0,
从而h(x0)>0,h(x)<0在(1,+∞)不恒成立,
令m(x)=f(x)﹣(1﹣a2)lnx=x2﹣2ax+a2lnx,
则m′(x)=≥0,m(x)在(1,+∞)递增,
由f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,得:m(1)≥0,解得:a≤,
综上,a∈[﹣,]时,f(x)是函数f1(x)、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”.
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查新定义问题,是一道综合题.
19. (本小题满分12分)已知,,函数,其中,若相邻两对称轴间的距离大于等于
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)在△ABC中,分别是角的对边,,当最大时,, 求△ABC的面积.
参考答案:
联立解得 所以………………12分
20. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=,且直线l经过点F(﹣,0)
( I )求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程;Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】( I )利用ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,将曲线C转化成直角坐标方程;则直线l的普通方程x﹣y=m,将F代入直线方程,即可求得m,求得直线l的普通方程;
(Ⅱ)由( I )可知:设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点(2cosθ, sinθ),则L=2(4cosθ+2sinθ)=4sin(θ+φ),根据正弦函数的性质,即可求得L的最大值.
【解答】解:( I )由曲线C的极坐标方程:ρ2=,即ρ2+ρ2sin2θ=4,
将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,代入上式,化简整理得:;
直线l的普通方程为x﹣y=m,将F代入直线方程,则m=,
∴直线l的普通方程为x﹣y+=0;
(Ⅱ)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点(2cosθ, sinθ),(0<θ<),
∴椭圆C的内接矩形的周长L=2(4cosθ+2sinθ)=4sin(θ+φ),tanφ=,
∴曲线C的内接矩形的周长为L的最值为4.
21. 坐标系与参数方程
已知圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)将圆的参数方程化为普通方程,将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)圆,是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ):,:;(Ⅱ)两圆相交,.
解析:(Ⅰ)由得 …………2分
又
即 …………5分
(Ⅱ)圆心距得两圆相交,…………6分
由得直线的方程为 …………7分
所以,点到直线的距离为 …………8分
…………10分
【思路点拨】(Ⅰ)由圆的参数方程消参得结论,把公式代入圆的极坐标方程为即可. (Ⅱ))因为圆心距所以两圆相交,由得弦所在直线的方程为 所以,点到直线的距离为,.
略
22. 已知函数.
(1) 求的值; (2) 若,求.
参考答案:
,
略