2022年江西省萍乡市清溪中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则( )
A.f(﹣x1)>f(﹣x2) B.f(﹣x1)=f(﹣x2)
C.f(﹣x1)<f(﹣x2) D.f(﹣x1)与f(﹣x2)大小不确定
参考答案:
A
试题分析:先利用偶函数图象的对称性得出f(x)在(﹣∞,0)上是增函数;然后再利用x1<0且x1+x2>0把自变量都转化到区间(﹣∞,0)上即可求出答案.
试题解析:解:f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
故 在(﹣∞,0)上是增函数
因为x1<0且x1+x2>0,故0>x1>﹣x2;
所以有f(x1)>f(﹣x2).
又因为f(﹣x1)=f(x1),
所以有f(﹣x1)>F(﹣x2).
故选 A.
考点:奇偶性与单调性的综合.
点评:本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性.抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值,可以考查类比猜测,合情推理的探究能力和创新精神.
2. 将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象,设,则的图象大致为( )
参考答案:
A
3. 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为( )
A.3 B. C.2 D.
参考答案:
A
考点:简单空间图形的三视图.
专题:空间位置关系与距离.
分析:求出四个顶点在yOz平面上投影的坐标,分析正视图的形状,可得答案.
解答: 解:(0,0,0),(1,2,0),(0,2,2),(3,0,1),
在yOz平面上投影的坐标分别为:(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,1),
如下图所示:
即四面体的正视图为上下底长度分别为1,2,高为2的梯形,
其面积S==3,
故选:A
点评:本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中画出几何体的正视图是解答的关键.
4. 已知,则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 已知命题p:“,使得成立”为真命题,则实数满足( )
A.[-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
参考答案:
B
6. 已知集合,,则中所含元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
参考答案:
B
略
7. “a=2”是“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得.
【解答】解:当a=2时,f(x)=x2+2ax﹣2=(x+a)2﹣a2﹣2=(x+2)2﹣6,
由二次函数可知函数在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减;
若f(x)=x2+2ax﹣2=(x+a)2﹣a2﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减,
则需﹣a≥﹣2,解得a≤2,不能推出a=2,
故“a=2”是“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减”的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题考查充要条件的判定,涉及二次函数的单调性,属基础题.
8. 一个物体的运动方程为其中的单位是米,的 单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是( )
A.5米/秒 B.米/秒 C.7米/秒 D.米/秒
参考答案:
A
9. 定义在上的函数是奇函数且满足,,数列满足,且,(其中为的前项和)。则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知,,则( )
A. B. C.14 D.15
参考答案:
D
由,得,即,
又为等比数列,所以公比,
又,所以.
.
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,A,B分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点P在线段AB上,则的最小值为 .
参考答案:
﹣
【分析】求得椭圆的焦点和A,B的坐标,以及直线AB的方程,设出P(m,n),求得的坐标表示,由m2+n2的几何意义:表示原点与AB上的点的距离的平方,运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值.
【解答】解∵椭圆=1,
∴A(﹣2,0),B(0,1),F1(﹣,0),F2(,0),
可得AB的方程为x﹣2y+2=0,
设P(m,n),
则=(﹣﹣m,﹣n)(﹣m,﹣n)
=m2+n2﹣3,
由m2+n2的几何意义:表示原点与AB上的点的距离的平方.
可得原点到直线AB的距离取得最小,且为=,
即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题考查椭圆方程和性质,考查向量的坐标表示及最值的求法,解题时要认真审题,注意m2+n2的几何意义的合理运用,属于中档题.
12. 在平面直角坐标系xOy中,点A(0,27 )在y轴正半轴上,点 ( ,0)在x轴上,记 , , ,则 取最大值时,的值为 .
参考答案:
略
13. 设,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为 ;
参考答案:
1和3
14. 已知线段的长度为,点依次将线段十等分.在处标,往右数点标,再往右数点标,再往右数点标……(如图),遇到最右端或最左端返回,按照的方向顺序,不断标下去,(文)那么标到这个数时,所在点上的最小数为_____________.
参考答案:
5
记标有1为第1号,由于对这些点进行往返标数(从进行标数,遇到同方向点不够数时就“调头”往回数),则标有2的是1+2号,标有3的是1+2+3号,标有4的是1+2+3+4,…,标有10的是1+2+3+…+10=55号.所以55除以20的余数为15,此时点数到了5,,此时数为5。
15. 若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则m的取值范围是__________.
参考答案:
略
16. 设数列是等比数列,且,,则数列的前15项和为 .
参考答案:
等比数列首项为,第二项为,故是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,其前n项和为,时,为.
17. 在中,且,设是平面上的一点,则的最小值是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)
某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表:
A型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
B型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只
需写出结果);
(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽
车是A型车的概率;
(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据
所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.
参考答案:
解:(I)由数据的离散程度可以看出,B型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
(Ⅱ)这辆汽车是A类型车的概率约为
这辆汽车是A类型车的概率为 ………………7分
(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数为
………………9分
50辆B类型车出租的天数的平均数为
………………11分
答案一:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车
………………13分
答案二:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,而B型车出租天数的方差较大,所以选择A型车 ………………13分
19. (12分)(原创)已知
(1)求函数在处的切线方程(用一般式作答);
(2)令,若关于的不等式有实数解.求实数的取值范围.
参考答案:
【知识点】利用导数研究函数的切线方程;利用导数求解不等式问题.B11
(1)(2)
解析:(1)由题,则,
则所求切线为
即
(2),显然时不是不等式的解,故,
故
由(1)可知,则.
【思路点拨】(1)先对原函数求导,再利用点斜式求出直线方程即可;(2)把原不等式转化
,再求出即可.
20. (本小题满分14分)
设函数,其中
(1)当时,求曲线在点处的切线的斜率;
(2)求函数的单调区间与极值;
(3)已知函数由三个互不相同的零点,且,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围。
参考答案:
21. 如图,三棱柱是直棱柱,,,点、分别是和的中点。
(1)求证:;
(2)求点到平面的距离。
参考答案:
解:(1)由已知得四边形是矩形,
∴,,三点共线且是的中点,
又∵是的中点,
∴∥.
又∵平面,平面,
∴∥平面 .
(2)设点到平面的距离为.
由已知得平面,∴.
∵,,
∴.∴.
∵,是为的中点,平面,
∴点到平面的距离是,.
∵,∴,∴.
∴点到平面的距离是.
略
22. 已知等比数列的公比为q=-.
(1)若=,求数列的前n项和;
(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列。
参考答案: