2022年河北省唐山市第七十二中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
设集合,则
A.[0,2] B.[1,2] C.[0,4] D.[1,4]
参考答案:
答案:A
2. 与最接近的数是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是( )
A.23 B.31 C.32 D.63
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值,并输出.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值,
由于S=2°+21+22+23+24=31.
故选:B.
4. 已知命题,则为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】全称命题、特称命题.A2
【答案解析】B 解析:根据全称命题的否定是特称命题,故选B。
【思路点拨】将全称命题改为特称命题即可。
5. 等比数列中,,=4,函数,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图,若输入的,,则输出的a=( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
参考答案:
C
【分析】
更相减损术求的是最大公约数,由此求得输出的值.
【详解】由于更相减损术求的是最大公约数,和的最大公约数是,故输出,故选C.
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查更相减损术求最大公约数,属于基础题.
7. 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目,派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点,每个景点至少有一名工作人员前往,其中工作员甲、乙需要到同一景点调研,则不同的人员分配方案种数为( )
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
参考答案:
B
【分析】
按甲乙分情况求解即可
【详解】若甲、乙一起(无其他人)有 种
若甲、乙与另一人一起(三人一起)有种 ,共18+18=36种
故选:B
【点睛】本题考查排列组合的简单应用,考查分类讨论思想,是基础题
8. 若函数的图象经过一、二、四象限,则f(a)的取值范围为
A.(0,1) B. C.(-1,1) D.
参考答案:
B
依题意可得解得,.
设函数,则在上为减函数,故.
9. 在等差数列中,首项公差,若,则( )
(A)、 (B)、 (C)、 (D)、
参考答案:
A
,
∴.
10. =( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
C
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】计算题.
【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值.
【解答】解:
=
=
=sin30°=.
故选C
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正项数列的前项和为,且,若,则__________.
参考答案:
12. 若函数f(x)=(sinx+cosx)2﹣2cos2x﹣m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
[﹣1,]
考点:三角函数中的恒等变换应用.
专题:三角函数的求值.
分析:由条件利用三角函数的恒等变换可得f(x)=sin(2x﹣),由题意可得函数y=sin(2x﹣) 的图象和直线y=m在[0,]上有交点,求得函数y=sin(2x﹣) 在[0,]上的值域,即为所求的m的范围.
解答: 解:函数f(x)=(sinx+cosx)2﹣2cos2x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣m=sin(2x﹣)﹣m 在[0,]上有零点,
故函数y=sin(2x﹣) 的图象和直线y=m在[0,]上有交点,
函数y=sin(2x﹣) 在[0,]上的值域为[﹣1,],故m∈[﹣1,],
故答案为:[﹣1,].
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的定义域和值域,体现了转化的数学思想,属于基础题.
13. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在阴影区域的概率是 .
参考答案:
14. 若实数,满足,则的最大值为___________.
参考答案:
3
如图4,画出可行域,可知目标函数的最大值是当直线过时取得,即.
15. 已知i是虚数单位,复数z满足,则z= .
参考答案:
由题意可得:,则:
.
16. 已知α∈(π,2π),cosα=,则等于 .
参考答案:
﹣
考点:两角和与差的正切函数.
专题:计算题;三角函数的求值.
分析:先根据角的范围求出正切值,再求tan().
解答: 解:由α∈(π,2π),cosα=,则,
∴sinα=﹣=﹣,tanα=﹣,
∴tan()==﹣,
故答案为:﹣.
点评:本题主要考查了同角三角函数的基本关系式与诱导公式的应用,属于基础题.
17. 已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为,则此双曲线的离心率是 ,标准方程是 .
参考答案:
,
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【知识点】函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.B1
【答案解析】(1)f(x)=x2-x+1;(2)(-∞,-1).
解析:(1)由f(0)=1,得c=1.即f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x,
则a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,
所以解得
因此,f(x)=x2-x+1…………………………………………………………….6
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,
由-m-1>0得,m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).……………………………….12
【思路点拨】(1)由二次函数可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1求得c的值,由f(x+1)﹣f(x)=2x可得a,b的值,即可得f(x)的解析式;(2)欲使在区间[﹣1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,只须x2﹣3x+1﹣m>0在区间[﹣1,1]上恒成立,也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0,即可得m的取值范围.
19. 设函数.
(1)若是函数的一个极值点,试用a表示b,并求函数的减区间;
(2)若,,证明:当时,.
参考答案:
(1),当时,函数的减区间为,,
当时,函数的减区间为,;(2)见解析.
(1)由,
有,得.
此时有
.
由是函数的一个极值点,可知,得.
①当,即时,令,得或,
函数的减区间为,.
②当时,函数的减区间为,.
(2)由题意有,要证,
只要证:
令
有.
则函数的增区间为,减区间为,
则.
故不等式成立.
20. (本小题满分10分)
设函数. (1)当a=2时,解不等式;
(2)若的解集为,,求证:m+2n4.
参考答案:
【知识点】绝对值不等式的解法;不等式的证明方法. N4
【答案解析】(1)不等式的解集为;(2)略.
解析:(1)当a=2时,不等式为,
因为方程的解为
所以不等式的解集为;
(2)即,解得,而解集是,
所以,解得a=1,所以
所以.---------10分
【思路点拨】(1)利用两实数差的绝对值的几何意义,写出方程的解,
从而得到原不等式的解集.(2)由已知条件求得a值,再用基本不等式
证得结论.
21. 已知函数.
()求曲线在点处的切线方程.
()求函数的零点和极值.
()若对任意,都有成立,求实数的最小值.
参考答案:
()∵,,∴,,
∴在点处的切线的斜率为,切点为,
∴切线方程为:,即.
()由,可得,即零点为;
由时,,递增,时,,递减,可得:
当时,取得极小值,,无极大值.【注意有文字】
()当时,,当时,,
若,令,,则,,
由于,则有,不符合题意;
若时,对任意,,都有,,则有,
所以,
即时,对任意,,都有成立.
综上所述,实数的最小值是.
22. 已知函数满足,且的最小值为.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若,,求的值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先根据辅助角公式化简函数,再根据正弦函数性质求周期,即得,最后根据正弦函数性质求单调区间;
(2)先求,再根据两角差正弦公式求的值.
【详解】(1)
因为,且的最小值为,所以,
因此
由得
即递增区间为
(2),
【点睛】本题考查三角函数解析式、正弦函数单调性以及与两角差正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.