浙江省温州市乐清镇安乡中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)直线y=3与函数y=|x2﹣6x|图象的交点个数为()
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
参考答案:
A
考点: 函数的图象.
专题: 计算题.
分析: 函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值,得到分段函数,画出图象,然后画出y=3,观察交点个数.
解答: 由函数的图象可得,显然有4个交点,
故选A.
点评: 本题考查了函数的图象与图象的变换,培养学生画图的能力,属于基础题.
2. 若则在角终边上的点是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. (4分)若f(x)=3ax+1﹣2a在(﹣1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D. a<﹣1
参考答案:
C
考点: 函数的零点;函数的零点与方程根的关系.
分析: 根据零点的性质和不等式性质进行求解.
解答: 解:由f(x)=3ax+1﹣2a=0得,
∵f(x)=3ax+1﹣2a在(﹣1,1)上存在零点,
∴,解得.
故选C.
点评: 求出零点后再根据零点的范围判断实数a的取值范围.
4. 已知函数,若方程有4个不同实根,则a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
5. 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
B
【考点】二倍角的余弦;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,由已知直线的斜率得到tanθ的值,然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方,然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后,把cosθ的平方代入即可求出值.
【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,
所以cos2θ===,
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣.
故选:B.
6. 方程和的根分别为、,则有( )
A. B. C. D.无法确定与大小
参考答案:
A
作 图可知,选A
7. 若函数对任意都有,的最小正值为( )
A. B. C . D .
参考答案:
A
8. 直线与圆的位置关系为( )
A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
参考答案:
D
圆心到直线的距离为:,又圆心不在直线上,所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心。
9. 已知,则的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若,则公比q=( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
参考答案:
A
【分析】
将转化为关于的方程,解方程可得的值.
【详解】∵,
∴,
又,
∴.
故选A.
【点睛】本题考查等比数列的基本运算,等比数列中共有五个量,其中是基本量,这五个量可“知三求二”,求解的实质是解方程或解方程组.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设全集是实数集,,,则图中阴影部分表示的集合等于____________.(结果用区间形式作答)
参考答案:
略
12. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,,则的值是__________.
参考答案:
10
【分析】
根据等比数列前项和公式,由可得,通过化简可得,代入的值即可得结果.
【详解】∵,∴,显然,
∴,∴,
∴,∴,故答案为10.
【点睛】本题主要考查等比数列的前项和公式,本题解题的关键是看出数列的公比的值,属于基础题.
13. 函数的零点个数是 .
参考答案:
2
14. 数学老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质:
甲:在上函数单调递减;
乙:在上函数单调递增;
丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称;
丁:不是函数的最小值.
老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么,你认为_________说的是错误的.
参考答案:
乙
15. 函数f(x)=a1﹣x+5(a>0且a≠1)的图象必过定点 .
参考答案:
(1,6)
【考点】指数函数的图象变换.
【分析】由a得指数为0求得x值,再求出相应的y值得答案.
【解答】解:由1﹣x=0,得x=1.
此时f(x)=6.
∴函数f(x)=a1﹣x+5(a>0且a≠1)的图象必过定点(1,6).
故答案为:(1,6).
16. 如果 ,那么的值为 .
参考答案:
3
17. 已知+= 20,则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ,最小值为 。
参考答案:
100 + 25,100 – 25。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=,
(1)求f(2)+f();f(3)+f()的值;
(2)猜想:f(x)+f()的值(不用证明);
(3)求f(2)+f(3)+f(4)+…+f+…+f()+f()+f()的值.
参考答案:
【考点】函数的值.
【分析】(1)直接利用函数的表达式,求解f(2)+f();f(3)+f()的值,即可.
(2)通过(1)猜想f(x)+f()的值.
(3)利用倒序相加法,借助(2)求出结果即可.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=,
∴f(2)+f()===1;
f(3)+f()===1.
(2)猜想f(x)+f()=1.
(3)令S=f(2)+f(3)+f(4)+…+f+…+f()+f()+f()…①
∴S=f()+f()+f()+…+f()+f+…+f(3)+f(2)…②
由f(x)+f()=1以及①+②得:
2S=4030×1,
S=2015.
即f(2)+f(3)+f(4)+…+f+…+f()+f()+f()的值为:2015.
19. 已知函数(∈R).
(1)画出当=2时的函数的图象;
(2)若函数在R上具有单调性,求的取值范围.
参考答案:
(1)当时
图象如右图所示
(2)由已知可得
①当函数在R上单调递增时,
由可得
②当函数在R上单调递减时,
由可得
综上可知,的取值范围是
20. 已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>2或x<﹣2}.
(1)求实数m的值;
(2)设函数g(x)=f(),对函数g(x)定义域内任意的x1,x2,若x1+x2≠0,求证:g(x1)+g(x2)=g();
(3)若函数f(x)在区间(a﹣4,r)上的值域为(1,+∞),求a﹣r的值.
参考答案:
【考点】函数的值域;对数函数的图象与性质.
【专题】计算题;证明题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)解可得x>2,或x<﹣2,这样即可得出m=2;
(2)根据f(x)的解析式可以求出g(x)=,进行对数的运算可以求出,并可以求出,从而得出;
(3)分离常数得到,可看出a>1时,f(x)在(a﹣4,r)上单调递减,从而可以得到,且a=6,从而有,这样即可求出r,从而得出a﹣r,同样的方法可以求出0<a<1时的a,r值,从而求出a﹣r.
【解答】解:(1)m=2时,解得,x>2,或x<﹣2;
∴m=2;
(2)证明:,;
∴g(x1)+g(x2)==;
=;
∴;
(3);
∴①若a>1,f(x)在(a﹣4,r)上单调递减;
∴;
∴;
∴;
∴;
②若0<a<1,f(x)在(a﹣4,r)上单调递增;
∴;
∴;
∴,或(舍去);
∴.
【点评】考查分式不等式的解法,对数的真数大于0,已知f(x)求f[g(x)]的方法,对数的运算,以及复合函数的单调性,根据单调性求函数的值域.
21. (本题满分16分)已知圆和点.
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线截得的弦长为8的圆M的方程;
(3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)若过点M的直线斜率不存在,直线方程为:,为圆O的切线; …………1分
当切线l的斜率存在时,设直线方程为:,即,
∴圆心O到切线的距离为:,解得:
∴直线方程为:.
综上,切线的方程为:或 ……………4分
(2)点到直线的距离为:,
又∵圆被直线截得的弦长为8 ∴ ……………7分
∴圆M的方程为: ……………8分
(3)假设存在定点R,使得为定值,设,,
∵点P在圆M上 ∴,则 ……………10分
∵PQ为圆O的切线∴∴,
即
整理得:(*)
若使(*)对任意恒成立,则 ……………13分
∴,代入得:
整理得:,解得:或 ∴或
∴存在定点R,此时为定值或定点R,此时为定值.
………………16分
22. (12分)设是等差数列的前项和,且,。
(1)、求数列的通项公式;
(2)、若数列满足,且,设数列的前项和为,求证:。
参考答案:
(1)
(2),
得证