2022年湖北省宜昌市英杰高中部高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　） 　 A．（0，） B． （，e） C． （0，] D． [，） 参考答案： D 略 2. 已知函数 若 的最小值为，则正数的值为            A．2                B．1              C．              D． 参考答案： D 略 3. 已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（    ）                          A．4+             B．4+              C．4+             D．4+ 参考答案： A 该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A． 4. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（   ）                               A．向右平移个单位长度   B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度   D．向左平移个单位长度 参考答案： C 略 5. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是 A．                                    B． C．                                D． 参考答案： D 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 通过三视图的俯视图可知，该几何体是由两个旋转体组成，故选 7. 已知定义在上的函数是偶函数，对时，的值为（  ） A．－2         B. 2        C.4          D.－4 参考答案： A 8. 数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则 （A）20（B）512（C）1013（D）1024 参考答案： D 略 9. 已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A．10π         B．64π       C. 100π         D． 参考答案： C 10. 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10， AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（    ） A．60°　B．45° C．0° D．120° 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数，则的定义域是        .  参考答案： 12. 某种饮料每箱装听，其中有听合格，听不合格，现质检人员从中随机抽取听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是         ． 参考答案： 考点：古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 13. 对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则          ． 参考答案： 3/4 14. 若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题： ①内单调递增； ②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4； ③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4,1]； ④之间存在唯一的“隔离直线”． 其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号) 参考答案： ①②④ 解析：①，，，，在内单调递增，故①正确； ②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立， 即有对任意恒成立.由 对任意恒成立得. 若则有符合题意; 若则有对任意恒成立,又 则有，，即有且，，，同理，可得， 所以， ，故②正确，③错误； ④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立， 若，则不恒成立. 若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立. 所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明， 令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④． 15. 已知数列{an}前n项和为Sn，a1=1，an+1=3Sn，则an=         ． 参考答案： 【考点】数列递推式． 【专题】计算题． 【分析】由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≥2）可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an即an+1=4an（n≥2），从而可得数列{an}为从第二项开始的等比数列，可求通项公式 【解答】解：由题意可得，an+1=3Sn，an=3Sn﹣1（n≤2） 两式相减可得，an+1﹣an=3Sn﹣3Sn﹣1=3an ∴an+1=4an（n≥2） ∵a1=1，a2=3S1=3≠4a1 数列{an}为从第二项开始的等比数列 ∴an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2），a1=1 故答案为： 【点评】本题主要考查了由等比数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意检验n=1时是否适合通项公式，以确定是写成一个通项还是分段的形式． 16. 若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： k＜﹣4 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题． 分析： 先将方程有四个不同的实数根问题转化为方程=|x|（x﹣1）有三个非零根，分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象，数形结合即可得k的范围 解答： 解：显然方程有一个根为0， 若x≠0，则方程??=|x|（x﹣1），（若方程有4个不同根，则k≠0） 分别画出函数y=，和y=|x|（x﹣1）的图象如图，只需两函数图象有三个非零交点即可， 由图数形结合可得当﹣＜＜0时，即k＜﹣4时，两函数图象有三个非零交点 综上所述，当k＜﹣4时，方程有四个不同的实数根 故答案为 k＜﹣4 点评： 本题主要考查了方程的根与函数图象交点间的关系，将方程的根的个数问题转化为恰当的函数图象的交点个数问题，数形结合解决问题是解决本题的关键，属中档题 17. 对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题： ①q=0时，f（x）为奇函数 ②y=f（x）的图象关于（0，q）对称 ③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根 ④方程f（x）=0至多有两个实数根 其中正确命题的序号为           ． 参考答案： ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用． 【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数； ②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论； ③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=； ④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根． 【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确． ②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确． ③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确． ④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确． 故答案为：①②③ 【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数，点、分别是函数图像上的最高点和最低点． （1）求点、的坐标以及的值； （2）设点、分别在角、（）的终边上，求的值． 参考答案： 【知识点】函数的图象变换；平面向量数量积的运算．C4 F3 （1）-2；（2） 解析：（1）∵，∴， ∴． 当，即时，f（x）取得最大值1， 当，即时，f（x）取得最小值﹣2． 因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，﹣2）． 则,． ∴. （2）∵点A（0，1）、B（4，﹣2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上， 则， ，， 则sin2β=2sinβcosβ=， cos2β=2cos2β﹣1=． ∴ ． 【思路点拨】（1）由x的范围求出的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得的值． 19. 设椭圆的左、右焦点 分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点， 满足，且.    （Ⅰ）求椭圆的离心率；    （Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程； （Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由. 参考答案： 解：（Ⅰ）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b）， 知 ， 由于 即为中点． 故 ，   故椭圆的离心率                                    ------------------4分 （Ⅱ）由（1）知得于是（，0）, B， △ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=, D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得=2，∴c =1，b=，  所求椭圆方程为.                         ------------------8分 （Ⅲ）由（2）知, ：            代入得 设， 则，     ------------------9分 由于菱形对角线垂直，则   故 则                ------------------10分 由已知条件知且      故存在满足题意的点P且的取值范围是．       略 20. （本小题满分10分）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． (I)若，求的值； (Ⅱ)若，证明：EF∥CD． 参考答案： ⑴四点共圆， ，又为公共角， ∴∽ ∴ ∴.  ∴. ……………………………………………………………… 6分  ⑵，        ， 又，     ∽， ， 又四点共圆，，， .……………………………………………………  10分 21. （本题满分14分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值