2022年湖北省黄冈市黄梅县濯港第一中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设全集为R,集合,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 设,,,则
(A)
(B)
(C)
(D)
参考答案:
A
略
3. 命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x3﹣x2+1≤0 B.存在x∈R,x3﹣x2+1≤0
C.存在x∈R,x3﹣x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3﹣x2+1>0
参考答案:
C
考点:命题的否定.
分析:根据命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”是全称命题,其否定是对应的特称命题,从而得出答案.
解答: 解:∵命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”是全称命题
∴否定命题为:存在x∈R,x3﹣x2+1>0
故选C.
点评:本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化.要注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定.
4. 设,函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.3
参考答案:
略
5. 已知向量,满足=3,=2,=5,则在方向上的投影是
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 若z=,则|z|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数求模公式计算得答案.
【解答】解: =,
则|z|=.
故选:D.
7. 已知在中,,,是线段上的点,则到的距离的乘积的最大值为( )
A.12 B.8 C. D.36
参考答案:
考点:解三角形;二次函数的实际应用.
8. 若=2,则sin(α﹣5π)?sin(﹣α)等于( )
A. B. C.± D.﹣
参考答案:
B
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.
【专题】计算题.
【分析】利用商的关系先对所给的齐次式,分子和分母同除以cosα进行转化,求出正切值,再根据诱导公式对所求的式子进行化简,再由商的关系转化为正切的式子,把求出的正切值代入进行求解.
【解答】解:由题意知, =2,分子和分母同除以cosα得,
=2,解得tanα=3,
∵sin(α﹣5π)?sin(﹣α)=﹣sinα?(﹣cosα)=sinαcosα
===,
故选B.
【点评】本题考查了诱导公式以及商和平方的关系的应用,对于含有正弦和余弦的齐次式的处理,常用平方关系进行“1”的代换,再利用商的关系转化为有关正切的式子.
9. (5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则?U(A∩B)=( )
A. {1,3,4} B. {3,4} C. {3} D. {4}
参考答案:
A
【考点】: 交、并、补集的混合运算.
【专题】: 计算题.
【分析】: 直接利用补集与交集的运算法则求解即可.
解:∵集合A={1,2},B={2,3},∴A∩B={2},
由全集U={1,2,3,4},
∴?U(A∩B)={1,3,4}.
故选:A.
【点评】: 本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础知识的考查.
10. 图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=ex﹣lne围成,现向矩形区域OABC内随机投掷一点,则该点落在非阴影区域的概率是( )
A. B.C.1﹣D.1﹣
参考答案:
D
【考点】定积分;几何概型.
【分析】求出阴影部分的面积,以面积为测度,即可得出结论.
【解答】解:由题意,阴影部分的面积为(ex﹣1)dx=(ex﹣x)|=e﹣2,
∵矩形区域OABC的面积为e﹣1,
∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣.
故选D.
【点评】本题考查概率的计算,考查定积分知识的运用,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 己知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若直线y=a1x与圆(x﹣2)2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称,则Sn= .
参考答案:
2n﹣n2
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由直线和圆的知识易得a1和d,再由等差数列的求和公式可得.
【解答】解:∵直线y=a1x与圆(x﹣2)2+y2=4的两个交点关于直线x+y+d=0对称,
∴直线x+y+d=0过圆(x﹣2)2+y2=4的圆心(2,0),
∴2+d=0,解得d=﹣2;
又直线x+y+d=0的斜率是﹣1,∴a1=1,
∴Sn=na1+d=2n﹣n2,
故答案为:2n﹣n2
【点评】本题考查等差数列的求和公式,涉及直线和圆的位置关系,属基础题.
12. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。
参考答案:
13. 设G为ΔABC的重心,若ΔABC所在平面内一点P满足=0,则的值等于_______
参考答案:
略
14. 已知双曲线,它的渐近线方程是y=±2x,则a的值为 .
参考答案:
2
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程可得其渐近线方程为:y=±ax,结合题意中渐近线方程可得a=2,即可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为:,其焦点在x轴上,
其渐近线方程为:y=±ax,
又有其渐近线方程是y=±2x,
则有a=2;
故答案为:2.
15. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_________。
参考答案:
略
16. 已知向量, ,,且为锐角,则角=__________.
参考答案:
17. 在△的内角、、的对边分别为、、,若,,,则 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于
轴上方的动点,直线,与直线分别
交于两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)(ⅰ) 设直线,的斜率分别为,求证为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值.
参考答案:
解:(Ⅰ).椭圆 的方程为. ………3分
(Ⅱ)(ⅰ)设点的坐标为,
∴ ………5分
∵点在椭圆上,∴,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为,
则 且 ………9分
∵
∴ 直线的方程为 ………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即时等号成立,
∴时,线段的长度取得最小值为. …………14分
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)若,求a的值;
(Ⅱ)设为m整数,且对任意正整数n,不等式,求m的最小值.
参考答案:
(Ⅰ),且,即的最小值为;
,
经检验,时,在上单调递减,在上单调递则,
于是在处取最得小值为,
即, 综上:
(Ⅱ)问题转化为,
令,①
则,②
于是①、②两式作比得:,
所以为递增数列;
对任意正整数,不等式,
所以当时,,又为整数,的最小值为.
20. A. 选修4-1:几何证明选讲
如图,圆O的直径AB=4,C为圆周上一点,BC=2,过C作圆O的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆O交于点D、E,求线段AE的长.
参考答案:
A.在Rt△ABC中,因为AB=4,BC=2,所以∠ABC=60°,
因为l为过C的切线,所以∠DCA=∠CBA,
所以∠DCA=∠ABC=60°.………………………………5分
又因为AD⊥DC,所以∠DAC=30°.
在△AOE中,因为∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°,且OE=OA,
所以AE=AO=AB=2.…………………………………10分
21. (本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点在线段上,且以为邻边的平行四边形是菱形,求的取值范围.
参考答案:
(1)b=c=1,,所求椭圆的方程为.…………4分
(2)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由,可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
∴. ………………8分
,其中x2-x1≠0.
以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形
∴. …………14分
22. 等差数列{an}的首项a1>0,数列的前n项和为.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)由的前项和为知
,可得,…………………………………………………2分
设等差数列的公差为,从而,
解得或,…………………………………………………………………4分
又,则,故。……………6分
(2)由(1)知,……………………………8分
则,
两边同时乘以4得,………9分
两式相减得,…10分
故. ……………………………………………………12分