北京怀柔县第五中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,] C.[,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
D
【考点】三角函数的最值.
【分析】设t=sinx,由x∈(0,π)和正弦函数的性质求出t的范围,将t代入f(x)后求出函数的导数,求出临界点,根据条件判断出函数的单调性,由导数与函数单调性的关系列出不等式,求出实数a的取值范围.
【解答】解:设t=sinx,由x∈(0,π)得t∈(0,1],
∵f(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1﹣sin2x),
∴f(x)变为:y=t3﹣at2+a,
则y′=3t2﹣2at=t(3t﹣2a),
由y′=0得,t=0或t=,
∵f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,
∴函数y=t3﹣at2+a在(0,1]上递减或先减后增,
即>0,得a>0,
∴实数a的取值范围是(0,+∞),
故选:D.
2. 在边长为1的等边三角形ABC中,点P是边AB上一点,且.,则( )
A. B. C. D. 1
参考答案:
C
【分析】
利用向量的加减法及数乘运算用表示,再利用数量积的定义得解.
【详解】依据已知作出图形如下:
.
所以
故选C
【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算,还考查了数量积的定义,考查转化能力,属于中档题.
3. 若,是方程的两根,且,则等于( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
B
略
4. 已知定义在上 的函数与函数的图像有唯一公共点,则实数的值为()
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
原题等价为有一解,即,令,确定其函数性质即可求解
【详解】与函数的图像有唯一公共点,
故有唯一解,即有唯一解
令,所以g(x)关于x=2对称,故a=g(2)=2
故选:D
【点睛】本题考查函数性质及方程的根,准确构造函数判断其对称性是本题关键,是基础题
5. 棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的八个顶点都在球O的表面上,E、F分别是棱AB、A1D1的中点,则经过E、F的平面截球O所得的截面的面积的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. (坐标系与参数方程选讲)已知点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是 .
参考答案:
略
7. (5分)下列命题中为真命题的是( )
A. 若x≠0,则x+≥2
B. 命题:若x2=1,则x=1或x=﹣1的逆否命题为:若x≠1且x≠﹣1,则x2≠1
C. “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D. 若命题P:?x∈R,x2﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x2﹣x+1>0
参考答案:
B
【考点】: 命题的真假判断与应用.
【专题】: 计算题;推理和证明.
【分析】: 对四个命题,分别进行判断,即可得出结论.
解:对于A,x>0,利用基本不等式,可得x+≥2,故不正确;
对于B,命题:若x2=1,则x=1或x=﹣1的逆否命题为:若x≠1且x≠﹣1,则x2≠1,正确;
对于C,“a=±1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故不正确;
对于D,命题P:?x∈R,x2﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x2﹣x+1≥0,故不正确.
故选:B.
【点评】: 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
8. 运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=xa在(0,+∞)上是增函数的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 在数列中,已知,,(),则( )
A. 1 B. 5 C. 4 D.
参考答案:
C
10. 已知全集,集合,集合,则如图所示的阴影部分 表示的集合是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则cos2θ= .
参考答案:
考点:二倍角的余弦.
专题:三角函数的求值.
分析:由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值.
解答: 解:∵,
∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=,
故答案为:.
点评:本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
12. 设抛物线,(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l. 过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B. 设C(p,0),AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为,则p的值为_________.
参考答案:
试题分析:抛物线的普通方程为,,,又,则,由抛物线的定义得,所以,则,由得,即,所以,,所以,.
13. 已知平面向量,,且∥,则 .
参考答案:
14. 在无穷等比数列{an}中,等于__________。
参考答案:
15. 设是定义在上的偶函数,对,都有,且当 时,,若在区间 内关于的方程恰有3个不同的实数根,则的取值范围是 .
参考答案:
(,2)
16. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则CF与平面ABCD所成角的正切值为 .
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】连结AC、BD,交于点O,当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,从而F∈AA1,进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角,由△C1A1F∽△EAO,求出AC,由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值.
【解答】解:连结AC、BD,交于点O,
∵四边形ABCD是正方形,AA1⊥底面ABCD,
∴BD⊥平面ACC1A1,
则当C1F与EO垂直时,C1F⊥平面BDE,
∵F∈平面ABB1A1,∴F∈AA1,
∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角,
在矩形ACC1A1中,△C1A1F∽△EAO,
则=,
∵A1C1=2AO=AB=2,AE=,
∴A1F=,∴AF=,
∴tan==.
∴CF与平面ABCD所成角的正切值为.
故答案为:.
【点评】本题考查线面角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
17. 若tan(π﹣α)=2,则sin2α= .
参考答案:
【考点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值,再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα,且sinα与cosα异号,两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值,进而求出sinαcosα的值,最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值.
【解答】解:∵tan(π﹣α)=﹣tanα=﹣=2,即=﹣2<0,
∴sinα=﹣2cosα,
两边平方得:sin2α=4cos2α,
∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=,sin2α=,
∴sin2αcos2α=,即sinαcosα=﹣,
则sin2α=2sinαcosα=﹣.
故答案为:﹣
【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=|2x﹣7|+1.
(1)求不等式f(x)≤x的解集;
(2)若存在x使不等式f(x)﹣2|x﹣1|≤a成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)问题转化为解不等式组问题,解出取并集即可;(2)先求出g(x)的分段函数,求出g(x)的最小值,从而求出a的范围.
【解答】解:(1)由f(x)≤x得|2x﹣7|+1≤x,
∴,
∴不等式f(x)≤x的解集为;
(2)令g(x)=f(x)﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1,
则,
∴g(x)min=﹣4,
∵存在x使不等式f(x)﹣2|x﹣1|≤a成立,
∴g(x)min≤a,
∴a≥﹣4.
19. 设是定义在上的偶函数,其图像关于直线对称。对任意都有。
(1) 设,求;
(2) 证明: 是周期函数。
参考答案:
解:(1)由,,知,
∵,∴。同理,∴;
(2)证明:依题设的图象关于直线对称,故,即。
又由是偶函数知,
∴,将上式中以代换,得,
∴是R上的以2为周期的周期函数
20. 某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试,其中男生250名,女生200名。现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩。
(I)求抽取的男生与女生的人数?
(II)从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2;
表1
成绩分组
人数
3
m
8
6
表2
成绩分组
人数
2
5
n
5
分别估计男生和女生的平均分数,并估计这450名学生的平均分数。(精确到0.01)
参考答案:
(Ⅰ)由抽样方法知,
被抽取的男生人数为250×=25,
被抽取的女生人数为200×=20.……………………………………………2分
(Ⅱ)男生甲和女生乙被抽到的概率均为0.1,
所以男生甲与女生乙至少有1人被抽到的概率
P=1-(1-0.1)2=0.19.……………………………………………………………7分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
m=25-(3+8+6)=8,n=20-(2+5+5)=8,据此估计
男生平均分为=81.8,
女生平均分为=83;
这450名学生的平均分数为≈82.33.………………………12分
略
21. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M的极坐标方程为,。
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)已知β为锐角,直线l:θ=β与曲线C的交点为A(异于极点),l与曲线M的交点为B,若,求l的直角坐标方程。
参考答案:
22. 已知且,数列是首项与公比均为的等比数列,数列满足().
(1) 若,求数列的前项和;
(2) 若对于,总有,求的取值范围.
参考答案:
(1)由已知有,.………………2分
,
,………………5分
所以,
. …………………………………8分
(2)即.由且得.2分
所以或………………………………3分
即或对任意成立,………………………5分
而,且,所以或.…………… 8分