2022年陕西省安康市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.微分方程y"-y'=0的通解为( )。
A.
B.
C.
D.
2.设y1,y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y+p2y=0的两个特解,则C1y1+C2y2( )
A.为所给方程的解,但不是通解 B.为所给方程的解,但不一定是通解 C.为所给方程的通解 D.不为所给方程的解
3.
4.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有
A.极大值f(4,1)=63 B.极大值f(0,0)=20 C.极大值f(-4,1)=-1 D.极小值f(-4,1)=-1
5.
A.
B.
C.
D.
6.设y=2-x,则y'等于( )。
A.2-xx
B.-2-x
C.2-xln2
D.-2-xln2
7.
8.当x→0时,3x是x的( ).
A.高阶无穷小量 B.等价无穷小量 C.同阶无穷小量,但不是等价无穷小量 D.低阶无穷小量
9.
A.A.sinx+sin2 B. -sinx+sin2 C.sinx D. -sinx
10.∫cos3xdx=
A.A.3sin3x+C B.-3sin3x+C C.(1/3)sin3x+C D.-(1/3)sin3x+C
11.
12.
A.1
B.
C.0
D.
13.设函数f(x)在区间(0,1)内可导,f'(x)>0,则在(0,1)内f(x)( ).
A.单调增加 B.单调减少 C.为常量 D.既非单调,也非常量
14.
15.
16.设函数f(x)在点x0处连续,则下列结论肯定正确的是( )。
A.
B.
C.
D.
17.在空间直角坐标系中,方程x+z2=z的图形是
A.A.圆柱面 B.圆 C.抛物线 D.旋转抛物面
18.
A.A.-(1/2) B.1/2 C.-1 D.2
19.
A.A.
B.x2
C.2x
D.2
20. 下列命题中正确的为
A.若x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0
B.若f'(x)=0,则点x0必为f(x)的极值点
C.若f'(x0)≠0,则点x0必定不为f(x)的极值点
D.若f(x)在点x0处可导,且点x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0
二、填空题(20题)
21.
22.设y=1nx,则y'=__________.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.极限=________。
40.
三、计算题(20题)
41. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
43.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
45.证明:
46.
47.
48.
49. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
50.
51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
52.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
54.
55. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
56. 求微分方程的通解.
57.
58. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
60.
四、解答题(10题)
61.
62.
63.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a,a2)处作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12.试求:
(1)切点A的坐标((a,a2).
(2)过切点A的切线方程.
64.
65.
66.
67.
68.展开成x-1的幂级数,并指明收敛区间(不考虑端点)。
69.
70.
五、高等数学(0题)
71.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。
微分方程为 y"-y'=0
特征方程为 r2-r=0
特征根为 r1=1,r2=0
方程的通解为 y=C1ex+c2
可知应选B。
2.B
如果y1,y2这两个特解是线性无关的,即≠C,则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关,所以可能是通解,也可能不是通解,故选B。
3.C
4.D
本题考查了函数的极值的知识点。
5.A
本题考查的知识点为偏导数的计算。
由于
故知应选A。
6.D
本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则。
由于 y=2-x
Y'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2.
考生易错误选C,这是求复合函数的导数时丢掉项而造成的!因此考生应熟记:若y=f(u),u=u(x),则
不要丢项。
7.C
8.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较.
应依定义考察
由此可知,当x→0时,3x是x的同阶无穷小量,但不是等价无穷小量,故知应选C.
本题应明确的是:考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时,要判定极限
这里是以α为“基本量”,考生要特别注意此点,才能避免错误.
9.D
10.C
11.A
12.B
13.A
由于f(x)在(0,1)内有f'(x)>0,可知f(x)在(0,1)内单调增加,故应选A.
14.A
15.D
16.D
本题考查的知识点为连续性的定义,连续性与极限、可导性的关系
由函数连续性的定义:若在x0处f(x)连续,则
可知选项D正确,C不正确。
由于连续性并不能保证f(x)的可导性,可知A不正确。
自于连续必定能保证极限等于f(x0),而f(x0)不一定等于0,B不正确。
故知应选D。
17.A
18.A
19.D
本题考查的知识点为原函数的概念.
可知应选D.
20.D解析:由极值的必要条件知D正确。
y=|x|在x=0处取得极值,但不可导,知A与C不正确。
y=x3在x=0处导数为0,但x0=0不为它的极值点,可知B不正确。因此选D。
21.
22.
23.
24.
25.k=1/2
26.
27.2
本题考查的知识点为极限的运算.
28.
29.(01]
30.
本题考查的知识点为二重积分的计算.
31.3yx3y-1
32.
33.±1.
本题考查的知识点为判定函数的间断点.
34.[*]
35.
本题考查的知识点为连续性与极限的关系,左极限、右极限与极限的关系.
36.3
37.1/4
38.1/3
本题考查了定积分的知识点。
39.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷,因此它不是重要极限的形式,由于=0,即当x→∞时,为无穷小量,而cosx-1为有界函数,利用无穷小量性质知
40.0
41.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
42.
列表:
说明
43.
44.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
45.
46.
47.
则
48.
49. 函数的定义域为
注意
50.
51.
52.由等价无穷小量的定义可知
53.由二重积分物理意义知
54.
55.
56.
57. 由一阶线性微分方程通解公式有
58.
59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
60.
61.
62.
63.由于y=x2,则y'=2x,曲线y=x2上过点A(a,a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a),即y=2ax-a2,曲线y=x2,
其过点A(a,a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积
由题设S=1/12,可得a=1, 因此A点的坐标为(1,1).
过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1.
解析:本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。
本题在利用定积分表示平面图形时,以y为积分变量,以简化运算,这是值得注意的技巧。
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
72.