北京第一五九中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是
A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0
参考答案:
D
,故选D
2. 函数的定义域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 复数R,则实数等于( )
A.1 B. C.0 D.±1
参考答案:
A
略
4. 执行如图2程序框图,若输入的值为6,则输出的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 复数z=i2(1+i)的虚部为( )
A. 1 B. i C. -1 D. – i
参考答案:
C
略
6. 函数在点处的切线斜率为,则的最小值是( )
A. 10 B. 9 C. 8 D.
参考答案:
B
略
7. 如图,已知点P(﹣3,﹣1),OA为第一象限的角平分线,将OA沿逆时针旋转θ角到OB,若,则tanθ的值为( )
A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由已知,求出tan(θ+45°)=﹣3,利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ,求出tanθ.
【解答】解:∵,则,又点P(﹣3,﹣1),则tan(θ+45°)=﹣3,
所以tanθ=tan(θ+45°﹣θ)==;
故选A
【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式;关键是求出tan(θ+45°),利用角的等价变换求出tanθ.
8. 若曲线,则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
9. 设x, y满足约束条件,若目标函数(a.>0,b>0),最大值为12,则 的最小值为
A. B. C. 5 D. 4
参考答案:
B
做出可行域,由得,因为,所以直线斜率,直线截距越大,越大,做出直线,,由图象可知当直线经过点B时,截距做大,此时,由得,代入直线得,即。所以,当且仅当,即时取等号,所以选B.
10. 对于函数,使成立的所有常数中,我们把的最大值叫做函数的下确界.则函数的下确界是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移的单位长度得到的图像,则____________.
参考答案:
根据函数的伸缩变换规则:函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成函数的图像,再根据平移变换规则:向右平移个单位长度得到函数的函数图像,因此,得到,,因为,所以,因此得到的解析式为,所以
【点评】此题考查三角函数的平移变换和伸缩变换,难度中等,关键是要记住三角函数图像变换规则,三角函数横坐标缩短为原来的一半是在x前面乘以2,而不是除以2,这点学生容易记错。
12. 已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意,. 设是的任意一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为_________.
参考答案:
216
13. 以椭圆的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准方程为______.
参考答案:
略
14. 在二项式的展开式中,含的项的系数是 .
参考答案:
略
15. 正方形的四个顶点A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线y=-x2和y=x2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .
参考答案:
【知识点】积分的意义;几何概型B13 K3
【答案解析】 解析:因为,所以在第一象限有,则在第一象限的阴影部分的面积为,所以概率为,故答案为.
【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积,然后求概率即可.
16. (5分)函数y=log2(2x﹣3)的定义域是 .
参考答案:
()
考点: 对数函数的定义域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接由对数式的真数大于0求得x的取值集合得答案.
解答: 由2x﹣3>0,得x.
∴函数y=log2(2x﹣3)的定义域是().
故答案为:().
点评: 本题考查了对数型函数的定义域,是基础题.
17. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
参考答案:
216000
试题分析:设生产产品A、产品B分别为、件,利润之和为元,那么由题意得约束条件 目标函数.
约束条件等价于 ①
作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.
将变形,得,作直线:并平移,当直线经过点M时,z取得最大值.
解方程组,得M的坐标为(60,100).
所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216000.
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)解不等式.
(Ⅱ)记函数的值域为,若,证明.
参考答案:
(Ⅰ)依题意,得,
于是得,或,或,
解得.
即不等式的解集为.
(Ⅱ),
当且仅当时,取等号,∴.
原不等式等价于
.
∵,∴,.
∴.
∴.
19. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元。设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大。
(注:年利润一年销售收入一年总成本)
参考答案:
20. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若,△ABC的周长为,求△ABC的面积S.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理化简已知等式可得2cosCsinC=sinC,结合sinC≠0,可求,结合范围C∈(0,π),可求C的值.
(2)由已知可求a+b=5,利用余弦定理可求ab=6,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:(1)由正弦定理得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
即2cosCsin(A+B)=sinC,
∴2cosCsinC=sinC,
故,
又C∈(0,π),
∴.
(2)∵且,
∴a+b=5,
∵由余弦定理得:a2+b2﹣2abcosC=7,
∴ab=6,
∴.
21. 设M、N、T是椭圆+=1上三个点,M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1.
(Ⅰ)若直线MN过原点O,直线MT、NT斜率分别为k1,k2,求证k1k2为定值.
(Ⅱ)若M、N不是椭圆长轴的端点,点L坐标为(3,0),△M1N1L与△MNL面积之比为5,求MN中点K的轨迹方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)设M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0,y0),则h1h2=,
又即可得h1h2
(Ⅱ)设直线MN与x轴相交于点R(r,0),根据面积之比得r
即直线MN经过点F(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),K(x0,y0)
分①当直线MN垂直于x轴时,②当直线MN与x轴不垂直时,设MN的方程为y=k(x﹣2)
x0=.消去k,整理得(x0﹣1)2+=1(y0≠0).
【解答】解:(Ⅰ)设M(p,q),N(﹣p,﹣q),T(x0,y0),则h1h2=,…(2分)
又两式相减得,
即h1h2==﹣,…(…
(Ⅱ)设直线MN与x轴相交于点R(r,0),s△MNL=×|r﹣3|?|yM﹣yN|
=|.
由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|yM﹣yN|=|,得
=5,r=4(舍去)或r=2.…(8分)
即直线MN经过点F(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),K(x0,y0)
①当直线MN垂直于x轴时,弦MN中点为F(2,0);…(9分)
②当直线MN与x轴不垂直时,设MN的方程为y=k(x﹣2),则
联立.?(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0
.…(10分)
x0=.
消去k,整理得(x0﹣1)2+=1(y0≠0).
综上所述,点K的轨迹方程为(x﹣1)2+=1(x>0).…(12分)
【点评】本题考查了轨迹方程的求法,及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.
22. 如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C.
(I)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(II)若AB=2,求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积.
参考答案:
略