2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（文科）试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|-21-f(x)，f(0)=6，f'(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex+5(其中e为自然对数的底数)的解集为 ( )
A. (0,+∞) B. (-∞,0)∪(3,+∞) C. (-∞,0)∪(1,+∞) D. (3,+∞)
11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别是F1,F2，焦距为2c，若直线y=3x+c与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则椭圆的离心率是 ( )
A. 22 B. 3-1 C. 3-12 D. 32
12. 已知侧棱长为23的正四棱锥各顶点都在同一球面上．若该球的表面积为36π，则该正四棱锥的体积为
A. 163 B. 823 C. 83 D. 323
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设等差数列{an}的前n项为Sn，若a3=8，S4=26，则公差d=________．
14. 已知实数x，y满足约束条件x-2≥02x+y-7≤0x-y-2≤0，则z=3x+4y的最大值是______．
15. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时，f(x)=6-x，则f(919)= ．
16. 已知点M(1,2)，点P是双曲线C：x29-y216=1左支上的动点，F2为其右焦点，N是圆D：(x+5)2+y2=1的动点，则|PM|-|PN|的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(Ⅰ)a的值；
(Ⅱ)sinC和△ABC的面积．
条件①：c=7，cosA=-17；
条件②：cosA=18，cosB=916．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，F为AB的中点，PA=AB=2．
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD体积；
(Ⅱ)证明：AE//平面PFC；
(Ⅲ)证明：平面PFC⊥平面PCD．
19. (本小题12.0分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且S4=120，an+1=3an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=log3a2n+1，求数列{1bnbn+1}的前n项和Tn
20. (本小题12.0分)
设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为(2,0)，离心率为32．
(1)求这个椭圆的方程；
(2)若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求AB的长及▵ABF2的面积．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1) 当a=1时，讨论f(x)的单调性;
(2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
22. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:ρsin2θ=2cosθ，直线l：{x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点，计算弦长|MN|及|PM|·|PN|的值．
2022-2023学年高三下学期开学考试
数学（文科）试卷
【答案】
1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. C 7. D 8. D
9. D 10. A 11. B 12. D
13. 3
14. 18
15. 6
16. 5-25
17. 解：选择条件①，
(Ⅰ)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即a2-b2=49-14b×(-17)=49+2b，
∴(a+b)(a-b)=49+2b，
∵a+b=11，
∴11a-11b=49+2b，
即11a-13b=49，
联立a+b=1111a-13b=49，解得a=8，b=3，
故a=8．
(Ⅱ)在△ABC中，sinA>0，
∴sinA=1-cos2A=437，
由正弦定理可得 asinA=csinC，
∴sinC=csinAa=7×4378=32，
∴S△ABC=12absinC=12×8×3×32=63．
选择条件②，
(Ⅰ)在△ABC中，sinA>0，sinB>0，C=π-(A+B)，
∵cosA=18，cosB=916，
∴sinA=1-cos2A=378，sinB=1-cos2B=5716，
由正弦定理可得asinA=bsinB，
∴ab=sinAsinB=65，
∵a+b=11，
∴a=6，b=5，
故a=6；
(Ⅱ)在△ABC中，C=π-(A+B)，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378×916+5716×18=74，
∴S△ABC=12absinC=12×6×5×74=1574．
18. 解：(Ⅰ)VP-ABCD=13S正方形ABCD⋅PA=13×22×2=83．
证明：(Ⅱ)取PC的中点M，连接ME，MF，
∵E，M是PD，PC的中点，
∴ME//CD，ME=12CD．
∵四边形ABCD是正方形，F是AB的中点，
∴AF//CD，AF=12CD，
∴AF//ME，AF=ME，
∴四边形AFME是平行四边形，
∴AE//MF，又AF⊄平面PFC，FM⊂平面PFC，
∴AE//平面PFC．
(Ⅲ)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA⊂PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，
∴AB⊥AE，又四边形AFME是平行四边形，
∴四边形AFME是矩形，
∴FM⊥ME，
∵PA=AB=BC，AF=BF，∠PAB=∠CBF=90°，
∴Rt△PAF≌Rt△CBF，
∴PF=CF，∵M是PC中点，
∴FM⊥PC．
又FM⊥ME，PC⊂平面PCD，ME⊂平面PCD，PC∩ME=M，
∴FM⊥平面PCD，∵FM⊂平面PFC，
∴平面PFC⊥平面PCD．
19. 解：(1)∵an+1=3an，
∴{an}是公比为q=3的等比数列，
又S4=a11-341-3=120 ，解得a1=3，
∴{an}是以为首项，公比为的等比数列通项公式为an=a1qn-1=3n．
(2)∵bn=log3a2n+1=log332n+1=2n+1∴1bnbn+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3
前n项和Tn=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3=1213-12n+3=n6n+9 ．
20. 解：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意，a=2，ca=32，∴c=3，b=1，
∴椭圆的方程为x24+y2=1．
(2)左焦点F1-3,0，右焦点F23,0，设Ax1,y1，Bx2,y2，
则直线AB的方程为y=x+3，由y=x+3x24+y2=1,
消y得5x2+83x+8=0，
x1+x2=-835，x1x2=85，
AB=1+k2×x1+x22-4x1x2=2×-8352-325=85，
点F23,0到直线y=x+3的距离d=232=6，
所以S▵ABF2=12×AB×d=465
21. 解：(1)当a=1时，f(x)=ex-(x+2)，
则f'(x)=ex-1，
令f'(x)>0，得x>0；令f'(x)<0，得x<0，
从而f(x)在(-∞,0)上单调递减；在(0,+∞)上单调递增．
(2)令f(x)=ex-a(x+2)=0，
显然x≠-2，所以a=exx+2，
令g(x)=exx+2，
问题转化为直线y=a与函数y=g(x)的图象有两个交点，
所以g'(x)=ex(x+1)(x+2)2，
当x<-2时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当-2-1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)的极小值为g(-1)=1e，
当x<-2时，g(x)<0，当x>-2时，g(x)>0，
所以当a>1e时，y=a与g(x)的图象有两个交点，
所以a的取值范围为1e,+∞．
22. 解：(1)把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入极坐标方程ρsin2θ=2cosθ，
得y2=2x，
直线l：x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)，
消去t得：x-y-2=0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x，x-y-2=0．
(2)将x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)代入y2=2x，
整理得t2-102t+40=0．
Δ=1022-4×1×40>0，
设t1，t2是方程的根，
则t1+t2=102，t1⋅t2=40，
∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1⋅t2=40