吉林省长春市德惠第四中学2022年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△中,是边中点,角的对边分别是,若,则△的形状为
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.
参考答案:
C
由题意知,
∴,∴,
又、不共线,∴,∴
2. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
考点: 由三视图求面积、体积.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为圆锥的.
解答: 解:由题意,该几何体为圆锥的,
其底面面积为×π×22=π,高为4,
则其体积V=×π×4=,
故选B.
点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.
3.
已知集合= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:C
4. 若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n等于
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
B
作出不等式组对应的平面区域,如图所示,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时有最大值,由,解得,所以,直线经过点时,有最小值,由,解得,所以,所以,故选B.
5. 函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
参考答案:
C
6. 半圆的直径=4, 为圆心,是半圆上不同于、的任意一点,若为半径的中点,则的值是
A. -2 B . -1 C . 2 D. 无法确定,与点位置有关
参考答案:
B
略
7. 如图,网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.93+12 B.97+12 C.105+12 D.109+12
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:该几何体为上下两部分,上面是一个三棱柱,下面是一个正方体,利用所给数据,即可得出结论.
【解答】解:由三视图可知:该几何体为上下两部分,上面是一个三棱柱,下面是一个正方体.
∴该几何体的表面积=5×4×4+1×4+3×4+2××3+4×=105+12.
故选:C.
【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与长方体的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
8. 设,则的图像的一条对称轴的方程是
A. B. C. D.
参考答案:
B
由得,,所以当时,对称轴为,选B.
9. 给出下面的3个命题:(1)函数的最小正周期是(2)函数在区间上单调递增;(3)是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
参考答案:
C
函数的最小正周期为,①正确.,在区间上递增,②正确.当时,,所以不是对称轴,所以③错误.所以正确的命题个数为2个,选C.
10. 已知集合,则满足条件的实数组成的集合是
(A){1,4} (B){1,3} (C){1,3,4} (D){0,1,3,4}
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形,则该阴影区域的面积是 .
参考答案:
2
【考点】定积分.
【分析】由题意,利用定积分的几何意义,所求阴影区域的面积是S=﹣,即可得出结论.
【解答】解:由题意,阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2.
故答案为:2.
12. 若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点,则在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 ▲ .
参考答案:
–3
分析:先结合三次函数图象确定在(0,+∞)上有且仅有一个零点的条件,求出参数a,再根据单调性确定函数最值,即得结果.
详解:由 得 ,因为函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点且,所以 ,因此 从而函数f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,所以, ,
13. 设全集U=R,集合A={x|x2﹣4x﹣5=0},B={x|x2=1},则A∩B= ,A∪B= ,A∩(?UB)= .
参考答案:
{﹣1},{﹣1,1,5},{5}。
考点:交、并、补集的混合运算;并集及其运算;交集及其运算.
专题:集合.
分析:确定出A与B,找出A与B交集、并集及A与B的补集即可.
解答: 解:∵集合A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1,5},B={x|x2=1}={﹣1,1},
∴?UB=B={x|x≠±1},
∴A∩B={﹣1},A∪B={﹣1,1,5},A∩(?UB)={5}.
故答案为:{﹣1},{﹣1,1,5},{5}.
点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
14. 已知三棱锥P-DEF的各顶点都在球面上,,EF⊥平面PDE,,,若该球的体积为,则三棱锥P-DEF的表面积为__________.
参考答案:
27
【分析】
设的中点为,则,所以为三棱锥外接球的球心,解得,所以,分别求得,,,再利用面积公式,即可求解.
【详解】如图所示,因为平面,所以,,,
因为,,所以平面,所以,
设的中点为,则,所以为三棱锥外接球的球心,
由题知,解得,所以,
在中,,,所以,
在中,,
在中,,
所以三棱锥的表面积为
.
故答案为:27.
【点睛】本题主要考查了三棱锥的表面积的公式,其中解答中根据球的体积求得球的半径,以及正确三棱锥的线面位置关系,利用三角形的面积公式,准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.
15. 设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值是 .
参考答案:
2
【考点】两点间距离公式的应用.
【分析】由直线过定点可得AB的坐标,由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式可得.
【解答】解:由题意可得动直线x+my=0过定点A(0,0),
直线mx﹣y﹣m+3=0可化为(x﹣1)m+3﹣y=0,
令可解得,即B(1,3),
又1×m+m×(﹣1)=0,故两直线垂直,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,
由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2
=(|PA|+|PB|)2﹣2|PA||PB|
≥(|PA|+|PB|)2﹣2()2
=(|PA|+|PB|)2,
∴(|PA|+|PB|)2≤20,
解得|PA|+|PB|≤2
当且仅当|PA|=|PB|=时取等号.
故答案为:2.
【点评】本题考查两点间的距离公式,涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值,属中档题.
16. 已知的定义域是,则的定义域为 ▲ .
参考答案:
[1,3]
略
17. 在四面体ABCD中,若, ,,则四面体ABCD的外接球的表面积为_______.
参考答案:
10π
【分析】
根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得,各棱为长方体各个面的对角线,可知四面体外接球即为长方体外接球;根据长方体外接球半径为体对角线长度一半,求得体对角线长度即可得到外接球半径,代入球的表面积公式即可求得结果.
【详解】由题意可知,四面体是由下方图形中的长方体切割得到,为长方体的四个顶点,则四面体的外接球即为长方体的外接球
设长方体长、宽、高分别为
则
即长方体体对角线长度为:
长方体外接球半径为体对角线长度一半,即
四面体外接球表面积:
本题正确结果:
【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题,关键是能够根据四面体对棱相等的特征,将其变为长方体的一个部分,从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 本小题满分15分)
如图,已知椭圆E:,焦点为、,双曲线G:的顶点是该椭圆的焦点,设是双曲线G上异于顶点的任一点,直线、与椭圆的交点分别为A、B和C、D,已知三角形的周长等于,椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.
(1)求椭圆E与双曲线G的方程;
(2)设直线、的斜率分别为和,探求
和的关系;
(3)是否存在常数,使得恒成立?
若存在,试求出的值;若不存在, 请说明理由.
参考答案:
(1)由题意知,椭圆中
所以椭圆的标准方程为 …………2分
又顶点与焦点重合,所以;
所以该双曲线的标准方程为。 …………4分
(2)设点
在双曲线上,所以 所以 …………8分
(3)设直线AB:
由方程组得 ………10分
设
所以
由弦长公式
同理 ………12分
由代入得 ………13分
所以存在使得成立。 ………15分
略
19. (本小题满分12分的内角、、对的边分别为、、 ,
与垂直.
(1)求的值;
(2)若,求的面积的最大值.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理的知识求解;(2)借助题设条件运用基本不等式求解.
试题解析:
(1)与垂直,, 即.
根据正弦定理得. 由余弦定理得.
是的内角,.
(2)由(1)知又的面积的面积最大值为.
考点:向量的数量积、余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用.
20. (本题满分14分)设某旅游景点每天的固定成本为500元,门票每张为30元,变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时,该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过100时,该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为,盈利额为。
(Ⅰ)求与之间的函数关系;
(Ⅱ)试用程序框图描述算法(要求:输入购票人数,输出盈利额);
(Ⅲ)该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每张门票至少要多少元(取整数)? 注:可选用数据:.
参考答案:
(I)根据题意,当购票人数不多于100时,可设与之间的函数关系为
. (2分)
∵人数为25时,该旅游景点收支平衡,
∴,解得 (3分)
∴(5分)
(II)(4分)
(III)设每张门票价格提高为元,根据题意,得
(2分)
∴。(3分)
从而,每张门票最少要37元。(5分)
21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为为参数),
若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标
方程为(t为参数)