四川省广元市剑阁县开封中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “”是数列“为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
2. sin300°等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
A
【考点】运用诱导公式化简求值.
【专题】计算题.
【分析】所求式子中的角度变形后,利用诱导公式化简即可得到结果.
【解答】解:sin300°=sin(360°﹣60°)=﹣sin60°=﹣.
故选A
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3. 设集合,则
A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}
参考答案:
A
因为,,所以,选A.
4. 如果执行右面的程序框图,如果输出的,则判断框处为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
略
5. 双曲线 的左、右焦点分别是、,过垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N,若为正三角形,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知偶函数在区间上单调递增,则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 函数y=ln(x2﹣4x+3)的单调减区间为( )
A.(2,+∞) B.(3,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,1)
参考答案:
D
【考点】复合函数的单调性.
【分析】令t=x2﹣4x+3>0,求得函数的定义域,且y=lnt,本题即求函数t在定义域上的减区间,再利用二次函数的性质得出结论.
【解答】解:令t=x2﹣4x+3>0,求得x<1,或x>3,故函数的定义域为{x|x<1,或x>3},且y=lnt.
故本题即求函数t在定义域{x|x<1,或x>3}上的减区间.
再利用二次函数的性质求得t在定义域{x|x<1,或x>3}上的减区间为(﹣∞,1),
故选:D.
8. 若函数在上单调递减,则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
将原问题进行等价转化为恒成立的问题,然后利用导数的性质可得实数k的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得:,
函数在上单调递减,则恒成立,即:,
据此可得:恒成立,
令,则,
故函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
函数的最大值为,由恒成立的结论可得:,
表示为区间形式即.
故选:C.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性,函数最值的求解,恒成立问题的处理方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9. 如图,给出的是的值的一个程序框图,
框内应填入的条件是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 定义两个实数间的一种新运算“*”:.对任意实数,给出如下结论:
①; ②; ③;
其中正确的个数是
A. 0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若的展开式中所有项的系数之和为256,则 ,含项的系数是 (用数字作答).
参考答案:
4,108
12. 已知集合若,则实数的取值范围是,其中= 。
参考答案:
4
13. 已知定义在R上的函数满足,当时,,则 .
参考答案:
4
考点:周期性和对称性
因为
所以函数的周期为2.
所以
故答案为:4
14. 的展开式中的系数是_________.(用数字作答)
参考答案:
84
∵的展开式中的系数是.
15. 已知函数f(x)=﹣log2x的零点在区间(n,n+1)(n∈N)内,则n的值为 .
参考答案:
2
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由函数的解析式判断单调性,求出f(2),f(3)的值,可得f(2)?f(3)<0,再利用函数的零点的判定定理可得函数f(x)=﹣log2x的零点所在的区间
【解答】解:∵函数f(x)=﹣log2x,
∴可判断函数单调递减
∵f(2)==>0,f(3)=<0,
∴f(2)?f(3)<0,
根据函数的零点的判定定理可得:
函数f(x)=﹣log2x的零点所在的区间是 (2,3),
n的值为:2.
故答案为:2.
16. 已知集合,若则实数的取值范围是,其中= .
参考答案:
4
17. 已知,若向量与共线,则 .
参考答案:
由共线,得
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=,0°<θ<90°)且与点A相距海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
参考答案:
(1)如图, AB=,AC=,∠BAC=θ,sin θ=.
由于0°<θ<90°,所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为(海里/小时).
(2) 如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1,y1),
C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1=AB=40,
x2=ACcos∠CAD=cos(45°-θ)=30,
y2=ACsin∠CAD=sin(45°-θ)=20.
所以过点B、C的直线l的斜率k==2,
直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离
所以船会进入警戒水域.
19. 已知函数R).
(Ⅰ)若,求曲线在点处的的切线方程;
(Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解:当时,.
, ……2分
因为切点为(), 则, ……4分
所以在点()处的曲线的切线方程为:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
, ……10分
因为,所以恒成立,
故在上单调递增, ……12分
要使恒成立,则,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)当时,在上恒成立,
故在上单调递增,
即. ……10分
(2)当时,令,对称轴,
则在上单调递增,又
① 当,即时,在上恒成立,
所以在单调递增,
即,不合题意,舍去 ……12分
②当时,, 不合题意,舍去 ……14分
综上所述: ……15分
20. 已知椭圆的离心率,直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点的直线交椭圆于A,B两点,且,求的取值范围。
参考答案:
(1);(2).
试题分析:
(1)由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得,则椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率为时,,当直线的斜率不为时,设直线在y轴上的截距式方程为,,,联立方程可得,满足题意时,结合韦达定理可知,据此可知.综上可得.
试题解析:
(1)因为原点到直线的距离为,
所以(),解得.
又,得
所以椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率为时,,
当直线的斜率不为时,设直线:,,,
联立方程组,得,
由,得,
所以,
,
由,得,所以.
综上可得:,即.
点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
21. (本小题为选做题,满分8分)
试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M =,N =.
参考答案:
(选做题)(本小题满分8分)
解:MN = =,-----------------------4分
即在矩阵MN变换下,-------6分
则,
即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为.---------8分
22. 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠SAD =∠DAB=90° ,SA=3,SB=5,,,.
(1)求证:AB平面SAD;
(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值;
(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF//平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.
参考答案:
(1) 见解析;(2) ; (3)1
【分析】
(1)通过证明,得线面垂直;
(2)结合第一问结论,建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,即可得二面角的余弦值;
(3)根据面面平行关系得出点F的位置,即可得到体积.
【详解】(1)证明:在中,因为,
所以.
又因为∠DAB=900
所以,
因为
所以平面SAD.
(2)解:因为 AD,,,
建立如图直角坐标系:
则A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,0),S(0,0,3).
平面SAB的法向量为.
设平面SDC的法向量为
所以有
即,
令,
所以平面SDC的法向量为
所以
(3)因为平面AEF//平面SCD,
平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,
所以,
平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,
所以
由,AD//BC
得四边形AEDC为平行四边形.
所以E为BC中点.
又,
所以F为SB中点.
所以F到平面ABE的距离为,
又的面积为2,
所以.
【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小,根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.