四川省德阳市广汉三星中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数同时具有以下两个性质: ① 是偶函数; ②对任意实数x, 都有 。则的解析式可以是 ( )
A. =cos x B. =
C. = D. =cos 6 x
参考答案:
C【知识点】函数的奇偶性B4
由题意可得,函数f(x)是偶函数,且它的图象关于直线x=对称.
∵f(x)=cosx是偶函数,当x=时,函数f(x)=,不是最值,故不满足图象关于直线x= 对称,故排除A.∵函数f(x)=cos(2x+)=-sin2x,是奇函数,不满足条件,故排除B.
∵函数f(x)=sin(4x+)=cos4x是偶函数,当x=时,函数f(x)=-4,是最大值,故满足图象关于直线x=对称,故C满足条件.∵函数f(x)=cos6x是偶函数,当x=时,函数f(x)=0,不是最值,故不满足图象关于直线x=对称,故排除D,
【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性,再考查三角函数的图象的对称性,从而得出结论.
2. 设集合M={y|y=1x—x|,x∈R}, ,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
参考答案:
C
本题考查了三角恒等变换、复数模的运算以及集合的运算问题,难度中等。
由,所以,
由,即,解得,因此交集为,故选C
3. 复数满足:,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 函数的图象大致是
参考答案:
C
略
5. 将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
6. 直线与曲线交于两点,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知圆交y轴正半轴于点A,在圆O内随机取一点B,则成立的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知函数(,且)的图象恒过定点A,若点A在函数的图象上,其中,则的最小值为
A.1 B.4 C. D.2
参考答案:
B
略
9. 如果的展开式中含有非零常数项,则正整数的最小值为( )
A.10 B.6 C.5 D.3
参考答案:
答案:选C
解析:由展开式通项有
由题意得,故当时,正整数的最小值为5,故选C
点评:本题主要考察二项式定理的基本知识,以通项公式切入探索,由整数的运算性质易得所求。本题中“ 非零常数项”为干扰条件。
易错点:将通项公式中误记为,以及忽略为整数的条件。
10. 已知函数f(x)=e|lnx|﹣|x﹣|,则函数y=f(x)的大致图象为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:函数的图象.
专题:函数的性质及应用.
分析:利用排除法,根据定义域排除A,B,根据f(1)=1排除D,问题得以解决
解答: 解:∵f(x)=e|lnx|﹣|x﹣|,
∴函数的定义域为(0,+∞),故排除A,B,
当x=1时,f(1)=1﹣0=1,故排除D
故选:C
点评:本题考查了函数图象的识别,排除法时做选择题的一种常用方法,属于基础题
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 为等比数列,若和是方程++=的两个根,则=________。
参考答案:
略
12. 已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
参考答案:
4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,代入锥体体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
底面面积S=×2×3=3,
高h=4,
故体积V==4;
故答案为:4
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,棱锥的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
13. 已知函数①f(x)=x2;②f(x)=ex;③f(x)=ln x;④f(x)=cos x.其中对于 f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立的函数是
参考答案:
②
14. 某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温,并制作了对照表:
气温(℃)
18
13
10
﹣1
杯 数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程中的b≈﹣2,预测当气温为﹣5℃时,热茶销售量为 杯.
参考答案:
70
【考点】回归分析的初步应用.
【分析】先计算样本中心点,再求出线性回归方程,进而利用方程进行预测.
【解答】解:由题意, ==10, ==40
将b≈﹣2及(10,40)代入线性回归方程,可得a=60
∴x=﹣5时,y=﹣2×(﹣5)+60=70
故答案为:70
15. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为 .
参考答案:
如图,不妨设N在B处,,
则有 由
该直角三角形斜边
故答案为 .
16. 观察下列各式:=3125,=15625,=78125,…,则的末四位数字为 .
参考答案:
3125
17. 若函数,则满足的实数的值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1) 求的单调区间
(2)如果 存在,,使得,求满足上述条件的最大整数M;
(3)若对任意,,都有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)递减区间 递增区间,
(Ⅱ) M=4
(Ⅲ)=1 任意,,都有成立等价于
当时当时
19. 已知函数为实常数。
(1)若,求证:函数在上是增函数;
(2)求函数在上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数a的取值范围。
参考答案:
(1)当时,,当,,
故函数在上是增函数.………………………………………2分
(2),当,
①若,在上非负(仅当,x=1时,),故函数在上是增函数,此时. ……………………………………………4分
②若,当时,;当时,,此时
是减函数; 当时,,此时是增函数.故
.……………………………………………6分
③若,在上非正(仅当,x=e时,),故函数在上是减函数,此时.…………………………………8分
综上可知,当时,的最小值为1,相应的值为1;当时,
的最小值为,相应的值为;当时,的最小值为,
相应的值为……………………………………………………………10分
(3)不等式, 可化为.
∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,
因而()……………………………………………………………12分
令(),又,………………………14分
当时,,,
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,
故的最小值为,所以a的取值范围是. ………………………16分
20. (14分)已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<)的图象在y轴上的截距为,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π,﹣2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若△ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且锐角A满足,又已知a=7,sinB+sinC=,求△ABC的面积.
参考答案:
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)由题意易得A=2,由T=π,可得ω=1,再由截距为可得2sinφ=,结合角的范围可得φ=,可得解析式;
(2)结合(1)易得A=由正弦定理可得sinB=,sinC=,代入已知可得b+c=13,在结合余弦定理可得bc的值,由三角形的面积公式可得.
解答: 解:(1)由最值点可得A=2,设函数的周期为T,
由三角函数的图象特点可得T==π,解得ω=1,
又图象在y轴上的截距为,∴2sinφ=,
∴sinφ=,又|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=2sin(x+);
(2)∵锐角A满足,
∴2sin(A+﹣)=,
解得sinA=,∴A=;
由正弦定理可得==,
变形可得sinB=,sinC=,
∴sinB+sinC=(b+c)=,∴b+c=13,
再由余弦定理可得72=b2+c2﹣2bc×,
=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=169﹣3bc,∴bc=40,
∴△ABC的面积S=bcsinA=×40×=10.
点评: 本题考查三角函数解析式的求解,涉及正余弦定理和三角形的面积公式,属中档题.
21. 已知函数f(x)=2x的反函数为f﹣1(x)
(1)若f﹣1(x)﹣f﹣1(1﹣x)=1,求实数x的值;
(2)若关于x的方程f(x)+f(1﹣x)﹣m=0在区间[0,2]内有解,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】反函数;根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)易得f﹣1(x)=log2x,解关于x的对数方程可得;
(2)易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0,2]的值域,由“对勾函数”的单调性可得.
【解答】解:(1)f(x)=2x的反函数为f﹣1(x)=log2x,
由若f﹣1(x)﹣f﹣1(1﹣x)=1可得log2x﹣log2(1﹣x)=1,
∴log2=1,∴ =2,解得x=;
(2)∵关于x的方程f(x)+f(1﹣x)﹣m=0在区间[0,2]内有解,
∴2x+21﹣x=m在区间[0,2]内有解,
∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0,2]的值域,
函数y=2x+21﹣x=2x+在(0,)单调递减,在(,2)单调递增,
∴当x=时,函数取最小值2,
当x=2时,函数取最大值,
∴实数m的取值范围为.
【点评】本题考查反函数,涉及函数的值域和对数函数的性质,属基础题.
22. 已知,,分别为三个内角,,的对边,.
(1)求;
(2)若,是边上一点,且的面积为,求.
参考答案:
解法一:(1)根据正弦定理,
等价于.
又因为在中,
.
故,
从而,
因为,所以,得,
因为,所以.
(2)由,可得,
因为,所以.
根据余弦定理,得,即.
在中,根据正弦定理有,
得.
因为,
故.
解法二:(1)同解法一.
(2)由,可得,
根据正弦定理,
可得.
取的中点,连接,
为边上的高,且,
由,得.
又在直角三角形中,,
,得.
所以.