天津圣功中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如图所示,现输入四个函数(1)f(x)=x2,(2)f(x)=,(3)f(x)=ln x+2x-6,(4)f(x)=sin x,则输出函数是
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
参考答案:
D
由题意知此程序框图输出的函数应是存在零点的奇函数,因而应选(4).
2. 已知双曲线(a>0,b>0)的左焦点为F(﹣c,0)(c>0),过点F作圆x2+y2=的一条切线交圆于点E,交双曲线右支于点P,若,则双曲线的离心率为( )
A. B.C.D.2
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】判断出E为PF的中点,据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点;利用中位线的性质,求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF;通过勾股定理得到a,c的关系,求出双曲线的离心率.
【解答】解:∵,则,∴E为PF的中点,令右焦点为F′,则O为FF′的中点,
则PF′=2OE=a,∵E为切点,∴OE⊥PF,
∴PF′⊥PF,∵PF﹣PF′=2a,∴PF=PF′+2a=3a,
在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2,即9a2+a2=4c2.
所以离心率e=.
故选:A.
【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,在圆锥曲线中,求离心率关键就是求三参数a,b,c的关系,属于中档题
3. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是
A. B.
C.- D.0
参考答案:
B
略
4. 已知x∈[-π,π],则“x∈”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
试题分析:当x∈时,sinx+cosx≤
所以0≤sinx<-cosx≤
于是sin(sinx)<sin(-cosx)=cos(cosx),充分性成立.
取x=-,有sin(sinx)=sin(-)=-sin<0
cos(cosx)=cos(-)=cos>0
所以sin(sinx)<<cos(cosx)也成立,必要性不成立
故选C
考点:三角函数的性质,充要条件
5. 若函数在上单调递增,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.[,) B.(0,) C.(,1) D.(,1)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数,知(3a﹣1)x+4a递减,logax递减,且(3a﹣1)×1+4a≥loga1,从而得,解出即可.
【解答】解:因为f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数,
所以有,解得,
故选A.
【点评】本题考查函数单调性的性质,属中档题.
7. 阅读下边程序,若输入x为987654,则输出a的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
参考答案:
C
略
8. (2015春?黑龙江期末)化简的结果是( )
A. ﹣cos1 B. cos 1 C. cos 1 D.
参考答案:
C
考点: 二倍角的余弦.
专题: 计算题;三角函数的求值.
分析: 利用二倍角公式,同角三角函数关系式即可化简求值.
解答: 解:.
故选:C.
点评: 本题主要考查了二倍角公式,同角间三角公式的综合应用,属于基本知识的考查.
9. 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】由题意可得F(,0),设P(,y0),要求kOM的最大值,设y0>0,运用向量的加减运算可得=+=(+,),再由直线的斜率公式,结合基本不等式,可得最大值.
【解答】解:由题意可得F(,0),设P(,y0),
显然当y0<0,kOM<0;当y0>0,kOM>0.
要求kOM的最大值,设y0>0,
则=+=+=+(﹣)
=+=(+,),
可得kOM==≤=,
当且仅当y02=2p2,取得等号.
故选:C.
【点评】本题考查抛物线的方程及运用,考查直线的斜率的最大值,注意运用基本不等式和向量的加减运算,考查运算能力,属于中档题.
10. 执行如图所示的程序框图,则输出结果的值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C【知识点】算法与程序框图L1
由程序框图知:算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,
∵跳出循环的n值为2015,∴输出S==cos+cos+…+cos,
∵cos+cos+cos+cos++
= cos+cos+cos-cos- cos-cos=0
∴S=cos+cosπ=-
【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,根据条件确定最后一次循环的n值,再利用余弦函数的周期性计算输出S的值.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等比数列{}的前n项和为Sn,且,则S10= ______
参考答案:
1023
12. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.
参考答案:
4
【考点】L@:组合几何体的面积、体积问题.
【分析】设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和,等于柱体的体积,求解即可.
【解答】解:设球半径为r,则由3V球+V水=V柱可得3×,解得r=4.
故答案为:4
13. 设向量,,且,,则的最大值是 ;最小值是 .
参考答案:
9,1
14. 等腰直角三角形的直角顶点位于原点,另外两个点在抛物线y2=4x上,则这个等腰直角三角形的面积为 .
参考答案:
16
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线关于x轴对称,可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称,求得直线y=x和抛物线的交点,即可得到所求面积.
【解答】解:由等腰直角三角形的直角顶点位于原点,
另外两个点在抛物线y2=4x上,
由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称,
可设直线y=x,代入抛物线y2=4x,可得
x2=4x,解得x=0或x=4,
可得等腰直角三角形的另外两个点为(4,4),(4,﹣4),
则这个等腰直角三角形的面积为?()2=16.
故答案为:16.
15. 若二次函数在区间内至少存在一点使得则实数的取值范围是_______________.
参考答案:
16. 在长方形中,,为的中点,若,则的长为
参考答案:
2
17. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在△ABC中,∠C=45°,D为BC中点,BC=2.记锐角∠ADB=α.且满足cosα=﹣.
(1)求cos∠CAD;
(2)求BC边上高的值.
参考答案:
考点: 解三角形的实际应用.
专题: 应用题;解三角形.
分析: (1)由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1,可求cosα,根据∠CAD=α﹣45°,即可求cos∠CAD;
(2)由(1)得,sin∠CAD=sin(α﹣45°)sinαcos45°﹣sin45°cosα=,再由正弦定理,可求AD,从而可由h=ADsin∠ADB求解.
解答: 解:(1)∵cos2α=2cos2α﹣1,∴cos2α=,
∵α∈(0°,45°),∴cosα=,
∴,
∵∠CAD=α﹣45°,∴=.
(2)由(1)得,sin∠CAD=sin(α﹣45°)=sinαcos45°﹣sin45°cosα=,
在△ACD中,由正弦定理得:,
∴AD===5,
∴高h=ADsin∠ADB==4.
点评: 本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用,解题的关键是熟练应用基本公式.
19. 已知圆E:x2+(y﹣)2=经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且=λ(λ≠0)
(1)求椭圆C的方程;
(2)当三角形AMN的面积取得最大值时,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c,再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3,根据勾股定理求出|AF2|,根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值,代入椭圆方程即可;
(2)由(1)求出A的坐标,根据向量共线的条件求出直线OA的斜率,设直线l的方程和M、N的坐标,联立直线和椭圆方程消去y,利用韦达定理和弦长公式求出|MN|,由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离,代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式,化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m,代入直线l的方程即可.
【解答】解:(1)如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1,F2,
∴c2+(0﹣)2=,解得c=,…(2分)
∵F1,E,A三点共线,∴F1A为圆E的直径,则|AF1|=3,
∴AF2⊥F1F2,∴=﹣=9﹣8=1,
∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2
由a2=b2+c2得,b=,…(4分)
∴椭圆C的方程是;…
(2)由(1)得点A的坐标(,1),
∵(λ≠0),∴直线l的斜率为kOA=,…(6分)
则设直线l的方程为y=x+m,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由得,,
∴x1+x2=,x1x2=m2﹣2,
且△=2m2﹣4m2+8>0,解得﹣2<m<2,…(8分)
∴|MN|=|x2﹣x1|=
==,
∵点A到直线l的距离d==,
∴△AMN的面积S==
=≤=,…(10分)
当且仅当4﹣m2=m2,即m=,直线l的方程为.…(12分)
【点评】本题考查椭圆的标准方程,韦达定理和弦长公式,向量共线条件,以及直线、圆与椭圆的位置关系等,考查的知识多,综合性强,考查化简计算能力,属于中档题.
20. (l2分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB= 60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB= CD= CF.
(1)求证:BD⊥平面AED;
(2)求二面角F—BD—C的正切值.
参考答案:
因此,
故为二面角F—BD—C的平面角. ………………9分
在中,,可得
因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2. ……12分
21. (12分)(2010?广陵区校级模拟)已知y=f(x)=xlnx.
(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程;
(2)设实数a>0,求函数在[a,2a]上的最大值.
(3)证明对一切x