广东省梅州市兴宁宁新中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数为奇函数,则a=
(A) (B) (C) (D)1
参考答案:
A
本题主要考查了函数问题中的奇偶性问题,用特值法解答更巧妙,难度中等。(法一),,因为函数为奇函数,故,即,整理得。
(法二),因为函数为奇函数,故,即,整理得.,因为,所以,即。
2. 若集合,,全集,是的补集,则的真子集个数是 ( )
A.15 B.7 C.16 D.8
参考答案:
B
3. 命题:“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )
A 若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B 若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C 若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D 若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
参考答案:
B
4. 若复数是纯虚数,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 在中,内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】正弦定理 余弦定理C8
C由余弦定理,联立,得,,即
,结合,得或(舍),从而,,故选 C.
【思路点拨】联立和,得,从而可求.
6. 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意可知,几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,依次求表面积即可.
【解答】解:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π
故选D.
7. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为(),传输信息为,其中,运算规则为:,,,,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A.11111;B.01110;C.11111;D.00011
参考答案:
C
8. 已知复数(b∈R)的实部和虚部相等,则|z|=( )
A.2 B.3 C.D.
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再结合已知条件求出b的值,根据复数求模公式计算得答案.
【解答】解:,
∵复数的实部和虚部相等,
∴﹣b=﹣3,即b=3.
∴.
故选:D.
9. 给出下面结论:
①命题的否定为
②函数的零点所在区间是(-1,0);
③函数的图象向左平移个单位后,得到函数 图象;
④对于直线m,n和平面,若,则.
其中正确结论的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
10. 设命题p:?x∈R,ex≥x+1,则¬p为( )
A.?x∈R,ex<x+1 B.?x0∈R,ex0<x0+1
C.?x0∈R,ex0≤x0+1 D.?x∈R,ex0≥x0+1
参考答案:
B
【考点】2J:命题的否定.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题p:?x∈R,ex≥x+1,则¬p为?x0∈R,ex0<x0+1,
故选:B
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (2x﹣)6展开式中常数项为 (用数字作答).
参考答案:
60
【考点】DA:二项式定理.
【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项,令x的指数为0得展开式的常数项.
【解答】解:(2x﹣)6展开式的通项为=
令得r=4
故展开式中的常数项.
故答案为60
12. 若以曲线y=x3+bx2+4x+c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为 .
参考答案:
[-2,2]
13. 极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________
参考答案:
14. 已知函数,其中,则= .
参考答案:
7
15. 函数y=+2单调递减区间为________.
参考答案:
16. 已知,当取最小值时,实数的值是 ▲ .
参考答案:
试题分析:,当且仅当,即时取等号
考点:基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
17. 设向量,,,则______.
参考答案:
5
【分析】
由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之,代入计算所求即可.
【详解】由已知(x,1),(1,2),?,得到﹣x+2=0,解得x;
∴(,-3),∴,
故答案为:5.
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用.
【专题】解三角形.
【分析】根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADC=,
∴sin∠ADC====,
则sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)=sin∠ADC?cosB﹣cos∠ADC?sinB=×﹣=.
(2)在△ABD中,由正弦定理得BD==,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB?BCcosB=82+52﹣2×8×=49,
即AC=7.
【点评】本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.
19. 已知函数是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若
(1) 证明: 在[-1,1]上是增函数; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 解不等式;
(3)若对所有恒成立,求实数的范围.
参考答案:
解析:(1)任取,因为为奇函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以
因为
所以在[-1,1]上是增函数; ---------------------------5分
(2)
原不等式等价于 ---------------------10分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)由(1)知,所以对所有恒成立,即,记,则在[-1,1]上恒不小于零 ,则
即:,解得-----------------------------14分
以上答案仅供参考,其它方法类似给分
20. (本小题满分14分)已知椭圆上的点 到它的两个焦点的距离之和为4
(I)求椭圆的方程:
(II)A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,设D(4,0),连接DB交椭圆于另一点F,证明直线AE恒过x轴上的定点P;
(Ⅲ)在(II)的条件下,过点P的直线与椭圆交于M,N两点,求 的取值范围
参考答案:
21. 已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R.
(Ⅰ)当a=5时,解关于x的不等式f(x)>9;
(Ⅱ)设关于x的不等式f(x)≤|x﹣4|的解集为A,B={x∈R|2x﹣1|≤3},如果A∪B=A,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)当a=5,把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)由题意可得B?A,区间B的端点在集合A中,由此求得a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=5时,关于x的不等式f(x)>9,即|x+5|+|x﹣2|>9,
故有①;或②;或③.
解①求得x<﹣6;解②求得x∈?,解③求得 x>3.
综上可得,原不等式的解集为{x|x<﹣6,或 x>3}.
(Ⅱ)设关于x的不等式f(x)=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A,
B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 },如果A∪B=A,则B?A,
∴,即,求得﹣1≤a≤0,
故实数a的范围为[﹣1,0].
22. (本题满分12分)
已知数列的前 n项和为,满足,且.
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若,求证:数列是等比数列。
(Ⅲ)若 , 求数列的前n项和。
参考答案:
略