云南省昆明市晋宁县化乐中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{an}中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1等于( )
A.﹣3 B.﹣2 C.0 D.1
参考答案:
A
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】根据题意,设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,由题意可得a1+4d=9和2(a1+2d)=(a1+d)+6,解可得a1与d的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,
若a5=9,则有a1+4d=9,
又由2a3=a2+6,则2(a1+2d)=(a1+d)+6,
解可得d=3,a1=﹣3;
故选:A.
2. 如图,一个底面水平放置的倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,容器内有一定量的水,水深为h. 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后,水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出),则h的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
作OD⊥AC,垂足为D,则球的半径r=OD=1,此时OA=2r=2,底面半径R=2×tan30°,可得半球和水的体积和,从而得水的体积,将水的体积用h表示出来,进而求出h.
【详解】作OD⊥AC,垂足为D,则球的半径r=OD=1,此时OA=2r=2,底面半径R=2×tan30°=,当锥体内水的高度为h时,底面半径为h×tan30°=h,
设加入小球后水面以下的体积为V′,原来水的体积为V,球的体积为V球.
所以水的体积为:,
解得:.
故选:B.
【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
3. 已知函数,在一个周期内当时,有最大值2,当时,有最小值,那么 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
参考答案:
B
由,又=9.4,把点代入回归方程得,所以回归直线方程为,所以当,因此选B。
5. 是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
参考答案:
A
略
6. 下列集合中结果是空集的是( )
A.{x∈R|x2-4=0}
B.{x|x>9或x<3}
C.{(x,y)|x2+y2=0}
D.{x|x>9且x<3}
参考答案:
D
7. 直线与直线平行,则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 函数的图像与直线的交点个数为 ( )
A 可能无数 B 只有一个 C至多一个 D 至少一个
参考答案:
C
9. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,。则( )
A. 60° B. 45° C. 45°或135° D. 135°
参考答案:
B
∵
∴
∴
∴
∴
∵角A是△ABC的内角
∴A=60°
由正弦定理可得:,∴
又
∴
故选:B
10. 在空间内,可以确定一个平面的条件是( )
A.两两相交的三条直线
B.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点
C.三个点
D.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交
参考答案:
B
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】利用公理三及其推论求解.
【解答】解:在A 中,两两相交的三条直线能确定1个或3个平面,故A错误;
在B中,三条直线,它们两两相交,但不交于同一点,能确定一个平面,故B正确;
在C中,三个点共线,能确定无数个平面,故C错误;
在D中,三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交,能确定1个或3个平面,故D错误.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为
参考答案:
12. 记号表示ab中取较大的数,如. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当时,. 若对任意,都有,则实数a的取值范围是___ ▲ ___.
参考答案:
由题意,当时,令,解得,此时
令,解得,此时,
又因为函数是定义域上的奇函数,所以图象关于原点对称,且,
所以函数的图象如图所示,
要使得,根据图象的平移变换,
可得且,解得且,即且.
13. 函数的增区间是 .
参考答案:
略
14. 若关于的方程在上有实数根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
15. 已知,若,则的值等于 .
参考答案:
2
16. 若f(x+2)=,则f(+2)?f(﹣14)= .
参考答案:
考点:函数的周期性.
专题:函数的性质及应用.
分析:由函数的解析式可得分别求得f(+2)=﹣,f(﹣14)=4,相乘可得.
解答: 解:由题意可得f(+2)=sin
=sin(6π﹣)=﹣sin=﹣,
同理可得f(﹣14)=f(﹣16+2)=log216=4,
∴f(+2)?f(﹣14)=﹣×4=,
故答案为:
点评:本题考查函数的周期性,涉及三角函数和对数函数的运算,属基础题.
17. 函数的单调递增区间为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰
三角形,,平面⊥平面,点在上,
且平面.
(Ⅰ)判断直线与平面是否垂直,并说明理由;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
参考答案:
证明:(Ⅰ)因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.
因为平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面ABE,
从而BC⊥AE.
于是AE⊥平面BCE. ……6分
(Ⅱ)方法一:连结BD交AC与点M,则点M是BD的中点,
所以点D与点B到平面ACE的距离相等.
因为BF⊥平面ACE,所以BF为点B到平面ACE的距离.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形.
因为AB=2,所以BE=.
在Rt△CBE中,.
所以.
故点D到平面ACE的距离是. ……12分
方法二:过点E作EG⊥AB,垂足为G,因为平面ABCD⊥平面ABE,所以EG⊥平面ABCD.
因为AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.又AE=BE,所以△AEB是等腰直角三角形,从而G为AB的中点.又AB=2,所以EG=1.
因为AE⊥平面BCE ,所以AE⊥EC.
又AE=BE=,.
设点D到平面ACE的距离为h,因为VD-ACE=VE-ACD,则.
所以,故点D到平面ACE的距离是. 12分
略
19. 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为侧棱PA的中点.
(1)求证:PC∥平面BDE;
(2)若PC⊥PA,PD=AD,求证:平面BDE⊥平面PAB.
参考答案:
证明:(1)连结,交于,连结.
因为是平行四边形,所以.
因为为侧棱的中点,所以∥
因为平面,平面,所以∥平面.
(2)因为为中点,,所以.
因为,∥,所以.
因为平面,平面,,
所以平面.
因为平面,所以平面⊥平面.
20. (12分)已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(3-x) (a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求实数a的值。
参考答案:
21. 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y﹣20=0.求:
(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.
【专题】方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)求出直线l的斜率,根据点斜式方程求出直线方程即可;(2)求出所求直线的斜率,再根据点斜式方程求出直线方程即可.
【解答】解:(1)由l:3x+4y﹣20=0,得kl=﹣.
设过点A且平行于l的直线为l1,
则=kl=﹣,
所以l1的方程为y﹣2=﹣(x﹣2),
即3x+4y﹣14=0.
(2)设过点A与l垂直的直线为l2.
因为kl=﹣1,所以=,
故直线l2的方程为y﹣2=(x﹣2),
即4x﹣3y﹣2=0.
【点评】本题考查了求直线方程的点斜式方程,求直线的斜率问题,是一道基础题.
22. 若函数f(x)=(a2﹣3a+3)?ax是指数函数,试确定函数y=loga(x+1)在区间(0,3)上的值域.
参考答案:
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】根据指数函数定义可得a2﹣3a+3=1,求解a的值,利用指数函数的单调性求解在区间(0,3)上的值域.
【解答】解:函数f(x)=(a2﹣3a+3)?ax是指数函数,
则:,解得:a=2
∴函数y=log2x是增函数
∴函数y=loga(x+1)即y=log2(x+1)也是增函数.
∴在区间(0,3)上,即0<x<3,
有:log2(0+1)<log2(x+1)<log2(3+1),
解得:0<y<2,
即所求函数的值域为(0,2).