云南省曲靖市宣威市宝山乡第一中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题正确的是( )
A.经过三个点确定一个平面
B.经过两条相交直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且共点的三条直线确定一个平面
参考答案:
B
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】本题考查平面的基本性质及推论,根据基本性质对四个选项逐一判断,得出正确选项
【解答】解:A选项不正确,三个点如果在一条直线上则不能确定一个平面;
B选项正确,由公理2知经过两条相交直线确定一个平面;
C选项不正确,因为四边形包括空间四边形,此类四过形不能确定一个平面;
D选项不正确,两两相交且共点的三条直线可能交于一个点,如此则不能确定一个平面.
故选B
【点评】本题考查平面的基本性质及推论,属于概念型题,正确解答本题关键是掌握好公理及公理的推论.
2. 设,关于x的方程的四个实根构成以q为公比的等比数列,若,则ab的取值范围是( ▲ )
A. B. C.[4,6] D.
参考答案:
B
3. 函数的定义域是( )
A.[﹣1,+∞) B.(0,+∞) C.(﹣1,+∞) D.[﹣1,0)∪(0,+∞)
参考答案:
D
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件,求函数的定义域即可.
【解答】解:要使函数有意义,则,
即,
解得x≥﹣1且x≠0,
∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠0}.
4. 在中,(如图),若将绕直线旋转一周,则所形成的旋转体的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 化简 =( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义.
【分析】根据向量加法的混合运算及其几何意义即可求出.
【解答】解: =( +)﹣(+)=﹣=,
故选:D
6. 在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为( )
A. B.0 C. D.
参考答案:
B
7. 已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上递减,且f(-1)=1,则足的x的取值范围是
A.(0,2) B. C. D.(0,1)
参考答案:
A
由题意知, ,∴.∵f(x)是定义在R上的奇函数,且在递减,∴函数f(x)在R上递减,∴,解得0<x<2.
8. 已知tanx=﹣,则sin2x+3sinxcosx﹣1的值为( )
A.﹣ B.2 C.﹣2或2 D.﹣2
参考答案:
D
【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系.
【专题】三角函数的求值.
【分析】化tanx=﹣为=,得出,cosx=﹣2sinx.由sin2x+cos2x=1,求得sin2x=,将原式化为关于sin2x的三角式求解.
【解答】解:tanx=﹣,即=,cosx=﹣2sinx.
由sin2x+cos2x=1,得5sin2x=1,
sin2x=
所以原式=sin2x﹣6sin2x﹣1
=5sin2x﹣1
=﹣1﹣1
=﹣2
故选D
【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,考查公式应用能力,运算求解能力.
9. 设向量,,则下列结论中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 直线a、b和平面α,下面推论错误的是( )
A.若a⊥α,b?α,则a⊥b B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α
C.若a⊥b,b⊥α,则a∥α或a?α D.若a∥α,b?α,则a∥b
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】A,由线面垂直的性质定理可判断;
B,由线面垂直的判定定理可判断;
C,由线面、线线垂直的判定定理可判断;
D,若a∥α,b?α,则a∥b或异面
【解答】解:对于A,若a⊥α,b?α,则a⊥b,由线面垂直的性质定理可判断A正确;
对于B,若a⊥α,a∥b,则b⊥α,由线面垂直的判定定理可判断B正确;
对于C,若a⊥b,b⊥α,则a∥α或a?α,由线面、线线垂直的判定定理可判断C正确
对于D,若a∥α,b?α,则a∥b或异面,故D错;
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把已知正整数表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆.问正整数30的不同等差分拆有 ▲ 个.
参考答案:
19
12. 已知数列{an}的前n项和为,则数列{an}的通项公式an=________.
参考答案:
当时,,
当时, ,
且当时,,
据此可得:数列{an}的通项公式an=
13. 若满足则的最大值为
A. 1 B.3 C.5 D.9
参考答案:
D
14. 弧长为3π,圆心角为135°的扇形,其面积为____.
参考答案:
6π
【分析】
首先求得半径,然后利用面积公式求面积即可.
【详解】设扇形半径为,由弧度制的定义可得:,解得:,
则扇形的面积:.
【点睛】本题主要考查弧度制的定义与应用,扇形面积公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15. 设集合S={1,2},A与B是S的两个子集,若AB=S,则称(A,B)为集合S的一个分拆,当且仅当A=B时(A,B)与(B,A)是同一个分拆。那么集合S的不同的分拆个数有_______________个。w.w.w.k.s.5.u.
参考答案:
9
16. 已知集合,则 .
参考答案:
略
17. 设f(x-1)=3x-1,则f(3x)=__ __.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,
⑴求当的解析式
⑵画出函数上的函数简图
⑶求当时,x的取值范围
参考答案:
⑴因为
而当 所以
又当
因为的周期为,所以
所以当。
⑵如图
⑶由于的最小正周期为
因此先在上来研究
即 所以 所以
由周期性知
当
19. 函数f(x)=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)当a=1时,求g(a);
(2)求g(a);
(3)若,求a及此时f(x)的最大值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)当a=1时,可求得f(x)=2﹣,从而知当cosx=时,ymin=﹣,于是可求得g(a);
(2)通过二次函数的配方可知f(x)=2﹣﹣2a﹣1(﹣1≤cosx≤1),通过对范围的讨论,利用二次函数的单调性即可求得g(a);
(3)由于g(a)=≠1,只需对a分a>2与﹣2≤a≤2讨论,即可求得a及此时f(x)的最大值.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣2sin2x﹣2cosx﹣1
=﹣2(1﹣cos2x)﹣2cosx﹣1
=2cos2x﹣2cosx﹣3
=2﹣,
∵﹣1≤cosx≤1.
∴当cosx=时,ymin=﹣,
即当a=1时,g(a)=﹣;
(2)由f(x)=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x
=1﹣2a﹣2acosx﹣2(1﹣cos2x)
=2cos2x﹣2acosx﹣(2a+1)
=2﹣﹣2a﹣1,这里﹣1≤cosx≤1.
①若﹣1≤≤1,则当cosx=时,f(x)min=﹣﹣2a﹣1;
②若>1,则当cosx=1时,f(x)min=1﹣4a;
③若<﹣1,则当cosx=﹣1时,f(x)min=1.
因此g(a)=.
(2)∵g(a)=.
∴①若a>2,则有1﹣4a=,得a=,矛盾;
②若﹣2≤a≤2,则有﹣﹣2a﹣1=,即a2+4a+3=0,
∴a=﹣1或a=﹣3(舍).
∴g(a)=时,a=﹣1.
此时f(x)=2(cosx+)2+,
当cosx=1时,f(x)取得最大值为5.
20. 已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)讨论函数f(x)在区间上的单调性.
参考答案:
解:(1)
∴的最小正周期
的最大值为2.
∵,∴
(2)由得
得
∴在上是增函数,在上是减函数.
21. 已知二次函数f(x)满足f(0)=2,f(x)-f(x-1)=2x+1,求函数f(x2+1) 的最小值.
参考答案:
因为二次函数,故可设. 1分
又.
即 7分
令,则.函数.
又在上单调递增.
即的最小值为5. 12分
22. 已知是等比数列的前项和,成等差数列.
(1)求公比的值; (2)当公比时,求证:成等差数列.
参考答案:
解:(1)由已知得即,由得
即, ……3分
,
. ……6分
(2)当时,
= , ……9分
由(1)知,,
即成等差数列. ……12分