2022-2023学年陕西省咸阳市昭仁中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】直线的斜率.
【专题】计算题.
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可.
【解答】解:因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值,
所以直线l的斜率k=tan120°=tan(180°﹣60°)=﹣tan60°=﹣.
故选B
【点评】此题比较简单,要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值,以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值.
2. 在下列结论中,正确的是 ( )
①为真是为真的充分不必要条件
②为假是为真的充分不必要条件
③为真是为假的必要不充分条件
④为真是为假的必要不充分条件
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
参考答案:
D
3. 设a、b、c均为正实数,则三个数( ).
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
参考答案:
D
4. 角是△的两个内角.下列六个条件中,“”的充分必要条件的个数是
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥.
(A)5 (B)6 (C)3 (D)4
参考答案:
A
5. 已知直线l过点,且在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的方程为( )
A.
B.或
C.或
D.或或
参考答案:
B
6. 若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( )
A.-2 B.4 C.-6 D.6
参考答案:
C
略
7. “双曲线方程为”是“双曲线离心率”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
8. 已知则是的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
9. 递减等差数列{an}的前n项和Sn满足:S5=S10,则欲Sn最大,则n=( )
A.10 B.7 C.9 D.7,8
参考答案:
D
10. 如果,且,则是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
参考答案:
C
试题分析:由,且可知,所以是第三象限的角
考点:三角函数值的符号
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数满足则的最小值是 ▲ .
参考答案:
12. 若函数f(x)=f′(1)x3﹣2x2+3,则f′(1)的值为 .
参考答案:
2
【考点】导数的运算.
【分析】求出函数f(x)的导数,计算f′(1)的值即可.
【解答】解:∵f(x)=f′(1)x3﹣2x2+3,
∴f′(x)=3f′(1)x2﹣4x,
∴f′(1)=3f′(1)﹣4,解得:f′(1)=2,
故答案为:2.
13. 如图,侧棱长为的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=400 , 过A作截面AEF,则截面△AEF周长的最小值为
参考答案:
6
14. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,向量与向量所成的角为 .
参考答案:
120°
【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.
【分析】先建立空间直角坐标系,求出向量与的坐标,然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可.
【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系
则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a)
∴=(0,﹣a,a),=(﹣a,a,0)
∴cos<,>===﹣
即<,>=120°
故答案为:120°
15. 展开式中的系数是 .
参考答案:
16. 在长方体中,分别是棱的中点,若,则异面直线与所成的角为
参考答案:
90°
17. 如右图,该程序运行后输出的结果为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数, 可取何值?请求出相应的值的分布列.
参考答案:
解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是. ………… 4分
(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是. ………… 8分
(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,则.所以 ………… 12分
略
19. 命题p:实数x满足(其中a>0),命题q:实数x满足.
(1)若,且为真,求实数x的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)由得,
又,所以,
当时, ,即为真时,实数的取值范围是,
由得,解得,即为真时,实数的取值范围是,
若为真,则真且真,
所以实数的取值范围是.
(2)由(1)知: ,则: 或
: ,则: 或
因为是的充分不必要条件,则,
所以解得,故实数的取值范围是.
20. (本题满分14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
且sin A+cos A=0,a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
参考答案:
解:因为sin A+cos A=0 所以tan A=-,又A为三角形内角,
所以A=…………………………………………………………………………(3分)
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0,…….(5分)
解得c=-6(舍去),c=4…………………………………………………………(6分)
(2)由题设可得∠CAD=,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=…………………………………………………(8分)
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
=1……………………………………………………………………(10分)
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,…………………………………(12分)
所以△ABD的面积为………………………………………………………….(14分)
21. 如图,在多面体中,四边形,,均为正方形,点是的中点,点在上,且与平面所成角的正弦值为.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小.
参考答案:
解:(1)因为四边形,均为正方形,
所以且,且,
所以且,
所以四边形是平行四边形,
所以.
又因为平面,平面,所以.
(2)由题意易知两两垂直且相等,设,以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则.
设,则,
因为与平面所成角的正弦值为,为平面的一个法向量,
所以与所成角的余弦值为,
所以 (1),
因为,,且,
所以 (2),
联立(1)(2),解得,则,
所以,
设平面的法向量为,则有即
取,得.
设平面的法向量为,同理可得,
设二面角的平面角为,由图知,
所以,
所以二面角的大小为.
22. 如图,、是通过某城市开发区中心的两条南北和东西走向的街道,连接、两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧.若点在点正北方向,且,点到、的距离分别为和.
(1)建立适当坐标系,求铁路线所在圆弧的方程;
(2)若该城市的某中学拟在点正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点的距离大于,并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于,求该校址距点O的最近距离(注:校址视为一个点).
参考答案:
解:(1)分别以、为轴,轴建立如图坐标系.据题意得,
线段的垂直平分线方程为:
∵a>4 ∴ ∴在[0,4]上为减函数,……………………………………12分
∴要使(﹡)恒成立,当且仅当,…14分
即校址选在距最近5km的地方.…………………………………………………………16分